北海道大学 2004年数学第5問解答・解説

1問題

北海道大学2004年度第5問

ある人がサイコロを振る試行によって, 部屋A, Bを移動する。サイコロの目の数が1, 3のときに限り部屋を移る。また各試行の結果, 部屋Aに居る場合はその人の持ち点に1点を加え, 部屋Bに居る場合は1点を減らす。持ち点は負になることもあるとする。第n試行の結果, 部屋A, Bに居る確率をそれぞれ $P_{A}(n)$ , $P_{B}(n)$ と表す。最初にその人は部屋Aに居るものとし(つまり, $P_{A}(0)=1$ , $P_{B}(0)=0$ とする), 持ち点は1とする。

(1) $P_{A}(1)$ , $P_{A}(2)$ , $P_{A}(3)$ および $P_{B}(1)$ , $P_{B}(2)$ , $P_{B}(3)$ を求めよ。また, 第3試行の結果, その人が得る持ち点の期待値 $E(3)$ を求めよ。

(2) $P_{A}(n+1)$ , $P_{B}(n+1)$ を $P_{A}(n)$ , $P_{B}(n)$ を用いて表せ。

(3) $P_{A}(n)$ , $P_{B}(n)$ を n を用いて表せ。

(4) 第 n 試行の結果, その人が得る持ち点の期待値 $E(n)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) P_A(1)=2/3, P_A(2)=5/9, P_A(3)=14/27$ 、 $P_B(1)=1/3, P_B(2)=4/9, P_B(3)=13/27$ 、 $E(3)=40/27$ 。 $(2) P_A(n+1)=2P_A(n)/3+P_B(n)/3$ 、 $P_B(n+1)=P_A(n)/3+2P_B(n)/3$ 。 $(3) P_A(n)=(1+3^{-n})/2$ 、 $P_B(n)=(1-3^{-n})/2$ 。 $(4) E(n)=3/2-1/(2·3^n)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

1回の試行で部屋を移る確率は $1/3$ 、とどまる確率は $2/3$ である。

(1) 初めはAにいるので、1回後には $P_A(1)=2/3$ , $P_B(1)=1/3$ 。次の試行では、Aからとどまる場合とBから移る場合を合わせて $\displaystyle P_A(2)=\frac23\frac23+\frac13\frac13=\frac59,\qquad P_B(2)=\frac49.$ 同様に $\displaystyle P_A(3)=\frac23\frac59+\frac13\frac49=\frac{14}{27},\qquad P_B(3)=\frac{13}{27}.$ 第 $k$ 回後の得点増加はAなら1、Bなら $-1$ だから、その期待値は $P_A(k)-P_B(k)$ 。初期得点1に各回の増加を加え、 $\displaystyle E(3)=1+\frac13+\frac19+\frac1{27}=\frac{40}{27}.$

(2) 第 $n$ 回後にどちらの部屋にいるかで場合分けすると $\displaystyle \begin{aligned} P_A(n+1)&=\frac23P_A(n)+\frac13P_B(n),\\ P_B(n+1)&=\frac13P_A(n)+\frac23P_B(n). \end{aligned}$

(3) 常に $P_A(n)+P_B(n)=1$ である。差 $D_n=P_A(n)-P_B(n)$ をとると、(2)より $D_{n+1}=D_n/3$ 。初期条件 $D_0=1$ から $D_n=3^{-n}$ なので $\displaystyle P_A(n)=\frac{1+3^{-n}}2,\qquad P_B(n)=\frac{1-3^{-n}}2.$

(4) 第 $k$ 回の得点増加を $Z_k$ とすると、持ち点は $1+Z_1+\cdots+Z_n$ 。期待値の和の性質は各 $Z_k$ が独立でなくても成り立つ。 $E(Z_k)=D_k=3^{-k}$ を用い、有限等比和を計算すれば $\displaystyle E(n)=1+\sum\limits _{k=1}^n3^{-k} =1+\frac{1-3^{-n}}2 =\frac32-\frac1{2\cdot3^n}.$

この問題で使う考え方

状態ごとの場合分け
確率の差の漸化式
期待値の和
有限等比和

1問題

2答え

3解答

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