1北海道大学 2004年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle q=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}$ とおくと、$\displaystyle q^2=\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}$、$q^3=-1$、$q^6=1$ であり、$q^m=1$ となる正の整数 $m$ の最小値は $6$ である。

(1) 漸化式 $z_{n+1}=qz_n+1$ と $z_1=1$ より $$\displaystyle z_2=q+1=\frac{3+i\sqrt3}{2},\qquad z_3=qz_2+1=q^2+q+1=1+i\sqrt3.$$

(2) $\alpha$ が $q\alpha+1=\alpha$ を満たすには $(1-q)\alpha=1$。$1-q=q^{-1}$ だから $$\displaystyle \alpha=\frac1{1-q}=q=\frac{1+i\sqrt3}{2}.$$

(3) 定点 $q$ との差をとると $$z_{n+1}-q=q(z_n-q),\qquad z_1-q=1-q=q^{-1}.$$ したがって $z_n-q=q^{n-1}q^{-1}=q^{n-2}$ であり、 $$\displaystyle z_n=\frac{1+i\sqrt3}{2}+\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{n-2}.$$

(4) 目標値は $\displaystyle -\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=-q^{-1}=q-1$ なので、(3)から $$z_n=-q^{-1}\quad\text{すなわち}\quad q^{n-2}=-1=q^3.$$ $q^m=1$ となる正の整数 $m$ の最小値が $6$ であることから $n-2\equiv3\pmod 6$、つまり $$n=6k+5\qquad(k=0,1,2,\ldots).$$