2九州大学 2009年 数学 第2問解答・解説

{ 設定.}　 カード「$i$」は $i$ 枚（$1\le i\le k$）あるから，全カードの総数は $$\displaystyle M+N=\sum\limits _{i=1}^{k}i=\frac{k(k+1)}{2}$$ である。ここで $M$ は偶数が書かれたカードの枚数の総和，$N$ は奇数が書かれたカードの枚数の総和である。よくきって1枚取り出す試行では，各カードが等確率で選ばれるから，1回の抽出で $$\displaystyle \text{偶数が出る確率}=\frac{M}{M+N},\qquad \text{奇数が出る確率}=\frac{N}{M+N}$$ であり，「もとに戻して」$n$回繰り返すので各回の抽出は独立である。

{ (1).}　 $n=1$ のとき，記録された数はそのまま1個の数であるから，その和が偶数となるのは取り出した数自身が偶数のときに限る。よって $$\displaystyle p_{1}=\frac{M}{M+N}.$$ $n=2$ のとき，2個の数の和が偶数となるのは「2回とも偶数」または「2回とも奇数」のときであり，これらは互いに排反で，各回は独立だから $$\displaystyle p_{2}=\left(\frac{M}{M+N}\right)^{2}+\left(\frac{N}{M+N}\right)^{2}=\frac{M^{2}+N^{2}}{(M+N)^{2}}.$$

{ (2).}　 $n$回の記録の和が偶数となる事象を $E_n$（確率 $p_n$），奇数となる事象を $\overline{E_n}$（確率 $1-p_n$）とする。$(n+1)$回の記録の和が偶数となるのは，次の2つの排反な場合のいずれかである。

・ $E_n$ が起こり，かつ $(n+1)$回目に偶数のカードを引く（確率 $\displaystyle p_n\cdot\dfrac{M}{M+N}$）。

・ $\overline{E_n}$ が起こり，かつ $(n+1)$回目に奇数のカードを引く（確率 $\displaystyle (1-p_n)\cdot\dfrac{N}{M+N}$）。

$(n+1)$回目の抽出は，それ以前の $n$回の結果とは独立であるから，これらの確率の積がそのまま各場合の確率になり，加法定理より $$\displaystyle p_{n+1}=p_{n}\cdot\frac{M}{M+N}+(1-p_{n})\cdot\frac{N}{M+N}=\frac{Mp_{n}+N-Np_{n}}{M+N}=\frac{(M-N)p_{n}+N}{M+N}.$$

{ (3).}　 $M-N$ を求める。$1$から$k$までの整数に，偶数には $+1$，奇数には $-1$ の符号を付けて足し合わせたものが $M-N$ である，すなわち $$\displaystyle M-N=\sum\limits _{i=1}^{k}(-1)^{i}i.$$

$k$ が偶数のとき.　 隣り合う2項ずつ $(-1+2),(-3+4),\dots,(-(k-1)+k)$ に組むと，各組の値はすべて $1$ で，組の数は $\displaystyle \dfrac{k}{2}$ 個だから $$\displaystyle M-N=\frac{k}{2}.$$ よって $$\displaystyle \frac{M-N}{M+N}=\dfrac{\dfrac{k}{2}}{\dfrac{k(k+1)}{2}}=\frac{1}{k+1}.$$

$k$ が奇数のとき.　 $k-1$ は偶数だから，上の結果を $k-1$ に適用すると $1$ から $k-1$ までの符号付き和は $\displaystyle \dfrac{k-1}{2}$ であり，最後に $i=k$（奇数だから符号 $-1$）を加えると $$\displaystyle M-N=\frac{k-1}{2}-k=-\frac{k+1}{2}.$$ よって $$\displaystyle \frac{M-N}{M+N}=\dfrac{-\dfrac{k+1}{2}}{\dfrac{k(k+1)}{2}}=-\frac{1}{k}.$$

（検算）直接 $M,N$ を求めても一致することを確かめる。$k$ が偶数のとき $\displaystyle N=1+3+\cdots+(k-1)=\left(\dfrac{k}{2}\right)^{2}=\dfrac{k^{2}}{4}$，$\displaystyle M=2+4+\cdots+k=\dfrac{k}{2}\left(\dfrac{k}{2}+1\right)=\dfrac{k(k+2)}{4}$ より $\displaystyle M-N=\dfrac{k(k+2)-k^{2}}{4}=\dfrac{2k}{4}=\dfrac{k}{2}$ で一致する。$k$ が奇数のときも同様に $\displaystyle N=\left(\dfrac{k+1}{2}\right)^{2}$，$\displaystyle M=\dfrac{k^{2}-1}{4}$ から $\displaystyle M-N=-\dfrac{k+1}{2}$ となり一致する。

{ (4).}　 $\displaystyle a=\dfrac{M-N}{M+N}$ とおく（(3)で求めた値）。$\displaystyle \dfrac{M}{M+N}+\dfrac{N}{M+N}=1$ と $\displaystyle \dfrac{M}{M+N}-\dfrac{N}{M+N}=a$ から $$\displaystyle \frac{M}{M+N}=\frac{1+a}{2},\qquad \frac{N}{M+N}=\frac{1-a}{2}$$ であり，(2)の漸化式は $$\displaystyle p_{n+1}=a\,p_{n}+\frac{1-a}{2}$$ と書き換えられる。$a\neq1$（$k\ge2$ より $\displaystyle \dfrac{1}{k+1}\neq1$，$\displaystyle -\dfrac{1}{k}\neq1$ なので常に成り立つ）であるから，不動点 $\displaystyle p^{*}=ap^{*}+\dfrac{1-a}{2}$ を解くと $\displaystyle p^{*}=\dfrac12$ となり， $$\displaystyle p_{n+1}-\frac12=a\left(p_{n}-\frac12\right)$$ を得る。ゆえに数列 $\displaystyle \left\{p_{n}-\dfrac12\right\}$ は公比 $a$ の等比数列であり，(1)の $\displaystyle p_{1}=\dfrac{M}{M+N}=\dfrac{1+a}{2}$ より初項は $\displaystyle p_{1}-\dfrac12=\dfrac{a}{2}$ であるから $$\displaystyle p_{n}-\frac12=a^{\,n-1}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^{n}}{2},\qquad\text{すなわち}\qquad p_{n}=\frac{1+a^{n}}{2}.$$ （検算）$n=1$ で $\displaystyle p_{1}=\dfrac{1+a}{2}=\dfrac{M}{M+N}$ となり(1)と一致し，$n=2$ で $\displaystyle p_{2}=\dfrac{1+a^{2}}{2}$ は $\displaystyle \left(\dfrac{1+a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{1-a}{2}\right)^{2}=\dfrac{1+a^{2}}{2}$ と展開でき，これも(1)で求めた $p_2$ の式と一致する。

(3)の結果を代入して， $$\displaystyle k\text{が偶数のとき}\quad p_{n}=\frac12\left\{1+\left(\frac{1}{k+1}\right)^{n}\right\},\qquad k\text{が奇数のとき}\quad p_{n}=\frac12\left\{1+\left(-\frac{1}{k}\right)^{n}\right\}.$$ さらに $k=2$（$M=2,N=1$）で直接 $\displaystyle p_{1}=\dfrac23,\ p_{2}=\dfrac59$ と計算した値が，上式に $\displaystyle a=\dfrac13$ を代入した値と一致し，$k=3$（$M=2,N=4$）で直接 $\displaystyle p_{1}=\dfrac13,\ p_{2}=\dfrac{5}{9}$ と計算した値が $\displaystyle a=-\dfrac13$ を代入した値と一致することを確認し，結果の妥当性を検算した。