3九州大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) $C_1:y=x^2/2$ 上の点 $(s,s^2/2)$（$s\ne0$）での法線は $$\displaystyle y=-\frac{x}{s}+\frac{s^2}{2}+1.$$ したがって $a,b\ne0$ のとき、2本の法線の交点 $R$ は $$\displaystyle -\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}=-\frac{x}{b}+\frac{b^2}{2} \quad\text{より}\quad x=-\frac{ab(a+b)}2,$$ $$\displaystyle y=\frac{a^2+ab+b^2}{2}+1.$$ $a=0$ または $b=0$ の場合も、該当する法線が $y$ 軸であることから同じ座標式になる。よって $b\to a$ とすると $$\displaystyle A=\left(-a^3,\frac32a^2+1\right).$$

(2) $a$ を媒介変数にすると、軌跡は $$\displaystyle C_2:\quad x=-a^3,\qquad y=1+\frac32a^2,$$ すなわち $\displaystyle y=1+\frac32x^{2/3}$（$x\text{ は実数}$）である。$t=x^{2/3}\ge0$ と置いて $C_1,C_2$ の交点を求めると $$\displaystyle \frac{t^3}{2}=1+\frac32t.$$ 両辺を2倍して移項し、因数分解すると、これと同値な式 $$(t+1)^2(t-2)=0$$ を得る。 $t\ge0$ より $t=2$、したがって $x=\pm2\sqrt2$、$y=4$ である。

概形は次の通りである。$C_2$ は $y$ 軸対称で、$(0,1)$ に鉛直接線をもつ尖点を持つ。

(3) $0\le t<2$ では $(t+1)^2(t-2)<0$ なので、交点間では $C_2$ が $C_1$ より上にある。両曲線で囲まれる面積は、偶関数性を使って $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\int_0^{2\sqrt2}\left(1+\frac32x^{2/3}-\frac{x^2}{2}\right)\,dx\\ &=2\left[x+\frac9{10}x^{5/3}-\frac{x^3}{6}\right]_0^{2\sqrt2}\\ &=2\left(2+\frac{18}{5}-\frac83\right)\sqrt2 =\boxed{\frac{88\sqrt2}{15}}. \end{aligned}$$