2東京医科歯科大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 三角形 $OPQ$ の $x$ 座標が一定の断面では $y=z=t$ であり、$\displaystyle \frac{b|x|}{a}\le t\le b$（$-a\le x\le a$）となる。$x$ 軸からの距離は $\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt2\,t$ なので、回転後の断面は内半径 $\sqrt2 b|x|/a$、外半径 $\sqrt2 b$ の円環である。よって $$\displaystyle V_1=\pi\int_{-a}^{a}\left(2b^2-\frac{2b^2x^2}{a^2}\right)\,dx =\frac83\pi ab^2 =\frac83\pi a(1-a^2).$$ $0<a<1$ で $a(1-a^2)$ の導関数は $1-3a^2$ であり、$a<1/\sqrt3$ で正、$a>1/\sqrt3$ で負となる。したがって最大は $a=1/\sqrt3$、$b=\sqrt{2/3}$ のときに達し、 $$\displaystyle V_{1,\max}=\frac83\pi\cdot\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{16\pi}{9\sqrt3}.$$

(2) 三角形 $PQR$ の $x$ 座標が一定の断面では $\displaystyle z=b,\ \frac{b|x|}{a}\le y\le b$ である。回転後の半径 $\rho$ は $\rho=\sqrt{y^2+b^2}$ だから、$xy$ 平面（$z=0$）上では $$\displaystyle b\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\le |y|\le\sqrt2\,b \qquad(-a\le x\le a).$$ $a=b=1/\sqrt2$ を代入すると $$\displaystyle -\frac1{\sqrt2}\le x\le\frac1{\sqrt2},\qquad \sqrt{x^2+\frac12}\le |y|\le1.$$ 従って切り口の周は、この $x$ 範囲における $\displaystyle y=1,\ y=-1,\ y=\sqrt{x^2+\frac12},\ y=-\sqrt{x^2+\frac12}$ で表される。各端点 $x=\pm1/\sqrt2$ では内外の境界が $y=\pm1$ で接続する。

(3) $0\le x\le a$ で三角形 $OPR$ を切ると、辺 $OP$ 上の点は $y=z=bx/a$、辺 $PR$ 上の点は $y=bx/a,\ z=b$ である。回転断面の内外半径はそれぞれ $$\displaystyle r_{\rm in}=\frac{\sqrt2 bx}{a},\qquad r_{\rm out}=b\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}},$$ であり、$r_{\rm out}^2-r_{\rm in}^2=b^2(1-x^2/a^2)\ge0$。よって $$\displaystyle V_3=\pi\int_0^a b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\,dx =\frac23\pi ab^2 =\frac23\pi a(1-a^2).$$ (1)と同じ $a(1-a^2)$ が $a=1/\sqrt3,\ b=\sqrt{2/3}$ で最大となるから $$\displaystyle V_{3,\max}=\frac23\pi\cdot\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{4\pi}{9\sqrt3}.$$ (2)で求めた切り口の周は次図の太線である。上下の水平線と双曲線弧が、それぞれ端点で接続する。