I順天堂大学 2018年 数学 第I問解答・解説

(1) 平方完成すると $$(x-2a)^2+(y-a)^2=a^2$$ であり、中心は$C=(2a,a)$、半径は$a$である。中心の座標から、中心は$\displaystyle y=\frac12x$上にある。 直線$y=mx$が円に接する条件は、中心から直線までの距離が半径に等しいことである。よって $$\displaystyle \frac{|2am-a|}{\sqrt{m^2+1}}=a \quad\text{すなわち}\quad (2m-1)^2=m^2+1 \quad\text{すなわち}\quad m(3m-4)=0.$$ したがって接線の傾きは$\displaystyle 0,\frac43$。傾き0の接点は$A=(2a,0)$である。もう一方の直線の方向ベクトルを$(3,4)$とすると、中心$C$のこの直線への正射影は $$\displaystyle B=\frac{(2a,a)\cdot(3,4)}{3^2+4^2}(3,4) =\left(\frac{6a}{5},\frac{8a}{5}\right).$$ ゆえに $$\displaystyle \operatorname{slope}(AB) =\frac{8a/5}{6a/5-2a}=-2,\qquad |AB|=\sqrt{\left(-\frac{4a}{5}\right)^2+\left(\frac{8a}{5}\right)^2} =\frac{4\sqrt5}{5}a.$$ $|AB|=3$より$\displaystyle a=\frac{15}{4\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{4}$。 　 (2)(a) $1020\equiv8\pmod{11}$だから $$1020^3\equiv8^3=512\equiv6\pmod{11}.$$ 　 (2)(b) $g=1020^3$とおき、$a=gu,\ b=gv$とする。最大公約数・最小公倍数の条件から$\gcd(u,v)=1,\ uv=1020^7$である。法11で $$g\equiv8^3\equiv6,\qquad g^2\equiv3,\qquad uv\equiv8^7\equiv2.$$ また$a^2+b^2\equiv10$より $$3(u^2+v^2)\equiv10,\qquad u^2+v^2\equiv7\pmod{11}.$$ したがって $$(u+v)^2\equiv u^2+v^2+2uv\equiv7+4\equiv0\pmod{11}.$$ よって$u+v\equiv0$、また$2u^2\equiv7$から$u^2\equiv9$、すなわち$\{u,v\}\equiv\{3,8\}\pmod{11}$。従って $$ab\equiv g^2uv\equiv3\cdot2=6,\quad (a+b)^2\equiv g^2(u+v)^2\equiv0,\quad (a-b)^2\equiv3(3-8)^2\equiv9\pmod{11}.$$ さらに$\{a,b\}\equiv6\{3,8\}\equiv\{7,4\}\pmod{11}$なので、小さい順に$4,7$。 　 (3) $Q$における円の半径の方向角は$\theta$である。糸は図のように$Q$から時計回り向きの接線に沿って伸びるため、その単位方向ベクトルの方向角は$\displaystyle \theta-\frac{\pi}{2}$。従って指定の範囲$-1<a\le1$では$\displaystyle a=-\frac12$である。式を具体化すると $$x(\theta)=\cos\theta+\theta\sin\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta-\theta\cos\theta.$$ 微分して$x'(\theta)=\theta\cos\theta,\ y'(\theta)=\theta\sin\theta$となるので、$0\le\theta\le\alpha$で速さは $$\sqrt{(x'(\theta))^2+(y'(\theta))^2} =\sqrt{\theta^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\theta.$$ したがって曲線の長さは$\displaystyle \int_0^\alpha\theta\,d\theta=\frac12\alpha^2$で、$\displaystyle b=\frac12,\ c=2$。糸がすべてほどけると、残る円周上の糸の長さが0となる。ほどけた直線部分の長さは$\theta$、糸の全長は$2\pi$なので終点では$\alpha=2\pi$。従って全曲線長は$\displaystyle \frac12(2\pi)^2=2\pi^2$、ゆえに$d=2,\ f=2$。