5九州大学 2009年 数学 第5問解答・解説

点Pは曲線 $y=e^{x}$ 上を動き，時刻 $t$ における座標を $(x(t),y(t))$，$y(t)=e^{x(t)}$ とする。合成関数の微分により $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=e^{x}\frac{dx}{dt}.$$ したがって $$\displaystyle |\vec{v}|^{2}=\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}\left(1+e^{2x}\right).$$ 条件 $|\vec{v}|=1$ より $\displaystyle \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}=\dfrac{1}{1+e^{2x}}$ であり，さらに $\displaystyle \dfrac{dx}{dt}>0$ であるから $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}.\tag{$\ast$}$$

(1) Pが点 $(s,e^{s})$ を通過する時刻は $x=s$ となる時刻であるから，$(\ast)$ と $\displaystyle \dfrac{dy}{dt}=e^{x}\dfrac{dx}{dt}$ にそれぞれ $x=s$ を代入して $$\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{1}{\sqrt{1+e^{2s}}},\ \frac{e^{s}}{\sqrt{1+e^{2s}}}\right).$$ （検算：$\displaystyle |\vec v|^2=\dfrac{1+e^{2s}}{1+e^{2s}}=1$，$\displaystyle \dfrac{dx}{dt}>0$ を満たし，方向は接線の傾き $e^{s}$ に一致している。）

(2) $(\ast)$ の右辺 $f(x):=(1+e^{2x})^{-1/2}$ は $x$ の関数であり，$x=x(t)$ を通じて $t$ に依存するから，合成関数の微分（指数関数の微分と合わせて）により $$\displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}f(x)=f'(x)\frac{dx}{dt} =\left\{-\frac{1}{2}(1+e^{2x})^{-3/2}\cdot 2e^{2x}\right\}\cdot(1+e^{2x})^{-1/2} =-\frac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}}.$$ 次に $\displaystyle \dfrac{dy}{dt}=e^{x}\dfrac{dx}{dt}$ を積の微分・合成関数の微分でもう一度 $t$ について微分すると $$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=e^{x}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+e^{x}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} =e^{x}\left[\frac{1}{1+e^{2x}}-\frac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}}\right] =e^{x}\cdot\frac{(1+e^{2x})-e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}} =\frac{e^{x}}{(1+e^{2x})^{2}}.$$ よって一般に $$\displaystyle \vec{\alpha}=\left(-\frac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}},\ \frac{e^{x}}{(1+e^{2x})^{2}}\right)$$ であり，Pが点 $(s,e^{s})$ を通過する時刻，すなわち $x=s$ のときは $$\displaystyle \vec{\alpha}=\left(-\frac{e^{2s}}{(1+e^{2s})^{2}},\ \frac{e^{s}}{(1+e^{2s})^{2}}\right).$$ （検算：$\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2s}}}\cdot\left(-\dfrac{e^{2s}}{(1+e^{2s})^{2}}\right)+\dfrac{e^{s}}{\sqrt{1+e^{2s}}}\cdot\dfrac{e^{s}}{(1+e^{2s})^{2}}=0$ となり，$|\vec v|\equiv1$ より $\vec v\cdot\vec\alpha=0$ が成り立つべきという一般的な事実と矛盾しない。)

(3) (2)の結果より $$\displaystyle |\vec{\alpha}|^{2}=\frac{e^{4s}+e^{2s}}{(1+e^{2s})^{4}}=\frac{e^{2s}\left(e^{2s}+1\right)}{(1+e^{2s})^{4}}=\frac{e^{2s}}{(1+e^{2s})^{3}}.$$ $u=e^{2s}$ とおくと，$s$ が実数全体を動くとき $u$ は正の実数全体を一対一に動く。$\displaystyle h(u)=\dfrac{u}{(1+u)^{3}}\ (u>0)$ とおいて増減を調べる。商の微分により $$\displaystyle h'(u)=\frac{(1+u)^{3}-u\cdot3(1+u)^{2}}{(1+u)^{6}}=\frac{(1+u)-3u}{(1+u)^{4}}=\frac{1-2u}{(1+u)^{4}}.$$ $(1+u)^{4}>0$ なので $h'(u)$ の符号は $1-2u$ の符号と一致し， $$\displaystyle 0<u<\frac12\ \text{で}\ h'(u)>0,\qquad u=\frac12\ \text{で}\ h'(u)=0,\qquad u>\frac12\ \text{で}\ h'(u)<0$$ であるから，$h(u)$ は $\displaystyle u=\dfrac12$ で（区間 $u>0$ における）最大値をとる。このとき $$\displaystyle h\!\left(\frac12\right)=\frac{1/2}{(3/2)^{3}}=\frac{1/2}{27/8}=\frac{4}{27}.$$ よって $|\vec{\alpha}|^{2}$ の最大値は $\displaystyle \dfrac{4}{27}$ であり，$|\vec\alpha|\ge0$ なので $$\displaystyle |\vec{\alpha}|_{\max}=\sqrt{\frac{4}{27}}=\frac{2}{3\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{9}.$$ この最大値は $\displaystyle u=e^{2s}=\dfrac12$，すなわち $\displaystyle s=-\dfrac12\log 2$ に対応する点P（曲線上に実際に存在する）で達成されるので，確かに最大値である。