6信州大学 2012年 数学 第6問解答・解説

(1) $h(x)=\tan x-x$ ($\displaystyle 0\le x<\frac\pi2$) とおくと、 $h(0)=0$,　　 $h'(x)=\sec^2x-1=\tan^2x>0$　($\displaystyle 0<x<\frac\pi2$). したがって $h$ は $0\le x<\pi/2$ の範囲で増加し、$\displaystyle 0<x<\frac\pi2$ では $h(x)>h(0)=0$、すなわち $x<\tan x$ である。

(2) $g(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})-\sin x$ ($x\ge0$) とおく。$g(0)=0$ であり、 $$\displaystyle g'(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}-\cos x.$$ まず $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$ とする。(1)より $x<\tan x$ であるから、 $$\displaystyle 1+x^2<1+\tan^2x=\sec^2x=\frac1{\cos^2x}.$$ この区間では $\cos x>0$ なので、正の平方根をとって $$\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x^2}}>\cos x,$$ 従って $g^{\prime}(x)>0$ である。よって $g$ は $0\le x\le\pi/2$ の範囲で増加し、$\displaystyle 0<x\le\frac\pi2$ で $g(x)>g(0)=0$ となる。

次に $\displaystyle x\ge\frac\pi2$ とする。$t>1$ に対して $$\displaystyle q(t)=\log t-\frac{2(t-1)}{t+1}$$ とおくと、$q(1)=0$ かつ $$\displaystyle q'(t)=\frac1t-\frac4{(t+1)^2} =\frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}>0.$$ したがって $\displaystyle \log t>\frac{2(t-1)}{t+1}$ であり、特に$t>3$ なら $\log t>1$ である。ここで $$t=x+\sqrt{1+x^2}>2x\ge\pi>3$$ を用いた。最後の $\pi>3$ は、単位円の円周 $2\pi$ がその内接正六角形の周長 6 より大きいことから従う。従って $$\log(x+\sqrt{1+x^2})=\log t>1\ge\sin x$$ であり、$g(x)>0$ である。以上より、すべての $x>0$ で所要の不等式が成り立つ。