2信州大学 2012年 数学 第2問解答・解説

円の中心を $C=(x_c,b)$、接点を $P=(t,t^2)$ とする。円が $x$ 軸に接し、半径が $3$ なので $b=\pm3$。接線 $y=2tx-t^2$ の方向ベクトルは $(1,2t)$ であり、法線ベクトルは $(2t,-1)$ とできる。したがってある実数 $\lambda$ により $$C-P=\lambda(2t,-1),\qquad \lambda=t^2-b.$$ 半径条件 $|CP|=3$ から $$(t^2-b)^2(4t^2+1)=9.$$ $u=t^2\ge0$ とおく。$b=3$ のとき $$(u-3)^2(4u+1)-9=u(u-2)(4u-15)=0,$$ よって $\displaystyle u=0,2,\frac{15}{4}$。$b=-3$ のとき $$(u+3)^2(4u+1)-9=u(4u^2+25u+42)=0.$$ 二次式の判別式は $25^2-4\cdot4\cdot42=-47<0$ で、$u\ge0$ の解は $u=0$ のみである。従って候補は $$\displaystyle t=0,\quad t=\pm\sqrt2,\quad t=\pm\frac{\sqrt{15}}2.$$

各候補について $b=3$、$\lambda=t^2-3$、$C=P+\lambda(2t,-1)$ と取ると、中心の $y$ 座標は $3$、距離は $|CP|=3$ である。さらに $CP$ は指定接線に垂直なので、接線条件も満たす。したがってこれらはすべて実現し、求める値は $$\displaystyle \boxed{t=0,\ \pm\sqrt2,\ \pm\frac{\sqrt{15}}2}.$$

数理の主要結論・計算を確認した。医学部範囲内であり、旧解説を採用候補として保存。 表示副本では裸の数式コマンドを数式モードに入れる整形のみを行い、数学内容は変えていない。