4信州大学 2012年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$ なので $$f'(x)=9x^2-14x+5,\qquad f(-1)=-16.$$ また $$f(a)-f(-1)=3a^3-7a^2+5a+15=(a+1)(3a^2-10a+15).$$ $a>-1$ より $a+1>0$ であるから、条件の等式は $$9c^2-14c+5=3a^2-10a+15$$ と同値である。この二次方程式の解は $$\displaystyle c_{\pm}=\frac{7\pm\sqrt{27a^2-90a+139}}9.$$ 根号内は $$\displaystyle 27a^2-90a+139=27\left(a-\frac53\right)^2+64>0$$ なので、常に異なる2実根をもつ。

これら2根がともに $-1<c<a$ に入る条件を調べる。$c_-<c_+$ であり、$c_+>7/9>-1$ なので、必要十分条件は $c_->-1$ と $c_+<a$ である。 $$c_->-1\text{すなわち} \sqrt{27a^2-90a+139}<16 \text{すなわち} 9(a+1)\left(3a-13\right)<0.$$ すでに $a>-1$ だから、これは $\displaystyle a<\frac{13}{3}$ と同値である。

次に $c_+<a$ は $$\sqrt{27a^2-90a+139}<9a-7$$ と同値である。この不等式が成り立つには右辺が正である必要があり、平方してよい。その差は $$(9a-7)^2-(27a^2-90a+139) =18(a+1)(3a-5).$$ $a>-1$ のもとでこの差が正となるのは $\displaystyle a>\frac53$ のときであり、この範囲では $9a-7>0$ も満たす。したがって $c_+<a$ の必要十分条件は $\displaystyle a>\frac53$ である。

以上より、2根がともに $-1<c<a$ を満たすような $a$ の範囲は $$\displaystyle \boxed{\frac53<a<\frac{13}{3}}.$$ 端点 $\displaystyle a=\frac53$ では $c_+=a$、$\displaystyle a=\frac{13}{3}$ では $c_-=-1$ となるため、両端は含まない。