九州大学 2009年数学第1問解答・解説

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1問題

九州大学2009年度第1問配点 50点

この問題の解答は、解答紙13の定められた場所に記入しなさい。

［問題］座標平面に3点 $O(0,0), A(2,6), B(3,4)$ をとり、点 $O$ から直線 $AB$ に垂線 $OC$ を下ろす。また、実数 $s$ と $t$ に対し、点 $P$ を $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ で定める。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点 $C$ の座標を求め、 $\left|\overrightarrow{CP}\right|^{2}$ を $s$ と $t$ を用いて表せ。

(2) $s$ を定数として、 $t$ を $t\geq0$ の範囲で動かすとき、 $\left|\overrightarrow{CP}\right|^{2}$ の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $C=(4,2),\quad |CP|^2=40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20$ 。(2) $\displaystyle s\le\frac23$ なら最小値 $4(s+1)^2$ 、 $\displaystyle t=\frac{4-6s}{5}$ 。 $\displaystyle s>\frac23$ なら最小値 $40s^2-40s+20$ 、 $t=0$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$ 。点CはAB上にあるので $C=(2+u,6-2u)$ と置き、 $OC\perp AB$ から $(2+u,6-2u)\cdot(1,-2)=0\quad\text{より}\quad u=2,$ 従って $C=(4,2)$ 。 $P=(2s+3t,6s+4t)$ だから $|CP|^2=(2s+3t-4)^2+(6s+4t-2)^2 =40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20.$

sを固定すると、tの二次式は $\displaystyle |CP|^2=25\left(t-\frac{4-6s}{5}\right)^2+4(s+1)^2.$ 頂点の $t$ 座標は $t_0=(4-6s)/5$ 。制約は $t\ge0$ なので、 $s\le2/3$ なら頂点が許され、最小値 $4(s+1)^2$ を $t=t_0$ でとる。 $s>2/3$ なら頂点は負で、二次式は $t\ge0$ で増加するため、最小は $t=0$ 。代入すると $40s^2-40s+20$ 。 $s=2/3$ では両式・指定 $t$ が一致する。

この問題で使う考え方

内積による垂直
位置ベクトル
平方完成と定義域の境界

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