3昭和大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 整数部分

$$2<\sqrt7<3$$ より $14<12+\sqrt7<15$ なので、整数部分は $x=14$、小数部分は $$y=12+\sqrt7-14=\sqrt7-2.$$ 有理化すると $$\displaystyle \frac3y=\frac3{\sqrt7-2} =\frac{3(\sqrt7+2)}{7-4} =\sqrt7+2.$$ 従って $$\displaystyle x-\frac3y=14-(\sqrt7+2)=12-\sqrt7.$$ $2<\sqrt7<3$ より $9<12-\sqrt7<10$ だから、その整数部分は $$\boxed{9}.$$

(2) 約数の個数

$$72^n=(2^3\cdot3^2)^n=2^{3n}3^{2n}.$$ 素因数分解が $2^{3n}3^{2n}$ の正の約数の個数は $$(3n+1)(2n+1).$$ これが $13n+111$ に等しいので $$(3n+1)(2n+1)=13n+111 \quad\text{すなわち}\quad 3n^2-4n-55=0.$$ 因数分解すると $$(3n+11)(n-5)=0.$$ $n$ は自然数だから $$\boxed{n=5}.$$

(3-1) 小球の中心を頂点とする正三角錐の体積

4個の小球が互いに外接するため、中心間の距離はすべて $2r$。従って中心を頂点とする正三角錐は一辺 $2r$ の正四面体である。

底面の正三角形の面積は $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}(2r)^2=\sqrt3\,r^2.$$ 底面の重心から頂点までの距離は、正三角形の外接円半径 $2r/\sqrt3$ に等しい。頂点から底面への高さを $h$ とすると、頂点と底面の頂点を結ぶ辺が $2r$ であるから $$\displaystyle h^2+\left(\frac{2r}{\sqrt3}\right)^2=(2r)^2, \qquad h=2r\sqrt{\frac23}.$$ よって体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\sqrt3\,r^2\cdot2r\sqrt{\frac23} =\boxed{\frac{2\sqrt2}{3}r^3}.$$

(3-2) 4個の小球が内接する球の半径

外側の球の中心は正四面体の中心であり、外側の半径はその中心から小球中心までの距離に $r$ を加えたものである。正四面体の一辺を $2r$、高さを $h=2r\sqrt{2/3}$ とする。正四面体の重心（外接球の中心）は底面から高さ $h/4$ の位置にある。底面の頂点から底面の重心までの距離は $2r/\sqrt3$ なので、小球中心までの距離 $R_0$ は $$\displaystyle \begin{aligned} R_0^2 &=\left(\frac h4\right)^2+\left(\frac{2r}{\sqrt3}\right)^2\\ &=\left(\frac{r\sqrt6}{6}\right)^2+\frac{4r^2}{3} =\frac{3r^2}{2}. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle R_0=\frac{\sqrt6}{2}r$。求める外側の球の半径は $$\displaystyle \boxed{r+R_0=\frac{2+\sqrt6}{2}\,r}.$$

(4-1) 点 $P$ の位置ベクトル

内分の意味を $BP:PC=m:n$ とする。内分点の公式から $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OP} =\frac{n\vec b+m\vec c}{m+n}}.$$

(4-2) 三角形 $PQR$ の重心

同じ内分点の公式で $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{n\vec c+m\vec a}{m+n},\qquad \overrightarrow{OR}=\frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}.$$ 重心の位置ベクトルは3頂点の位置ベクトルの平均だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OG} &=\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}}3\\ &=\frac{(m+n)(\vec a+\vec b+\vec c)}{3(m+n)} =\boxed{\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}}. \end{aligned}$$

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)&:\ 9,& (2)&:\ n=5,\\ (3\text{-}1)&:\ \frac{2\sqrt2}{3}r^3,& (3\text{-}2)&:\ \frac{2+\sqrt6}{2}r,\\ (4\text{-}1)&:\ \frac{n\vec b+m\vec c}{m+n},& (4\text{-}2)&:\ \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}. \end{aligned}$$

使用した解法

平方根の大小と有理化、素因数分解による約数個数、正四面体の底面積・高さ・重心、線分の内分点公式と三角形の重心公式を用いた。