2昭和大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 点 $(a,0)$ と接線 $l$ の距離

放物線 $y=-x^2+1$ の導関数は $-2x$ なので、$x=t$ における接線は $$y-(-t^2+1)=-2t(x-t), \qquad 2tx+y-(t^2+1)=0.$$ 点と直線の距離の公式から $$\displaystyle d=\frac{|2at-(t^2+1)|}{\sqrt{4t^2+1}}.$$ ここで $$t^2-2at+1=(t-a)^2+1-a^2\ge0$$ である。従って絶対値の中身 $2at-t^2-1$ は常に $0$ 以下であり、 $$\displaystyle \boxed{d=\frac{t^2-2at+1}{\sqrt{4t^2+1}}}.$$

(2) $f'(t)$

$f(t)=d$ とおき、分子を $N=t^2-2at+1$ とすると、 $$f(t)=N(4t^2+1)^{-1/2}.$$ 積の微分を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} f'(t) &=\frac{(2t-2a)(4t^2+1)-4t(t^2-2at+1)} {(4t^2+1)^{3/2}}\\ &=\boxed{\frac{2(2t^3-t-a)}{(4t^2+1)^{3/2}}}. \end{aligned}$$

(3) 極大となる $t$、極小となる $t$ の個数

分母は常に正なので、$f'(t)$ の符号は $$g(t)=2t^3-t-a$$ の符号と同じである。$u=1/\sqrt6$ とおくと $$g'(t)=6t^2-1.$$ 従って $g$ は $t<-u$ と $t>u$ で増加し、$-u<t<u$ で減少する。極大点・極小点での値は $$\displaystyle g(-u)=\frac{2}{3\sqrt6}-a=\frac{\sqrt6}{9}-a,\qquad g(u)=-\frac{2}{3\sqrt6}-a<0.$$

$0\le a<\sqrt6/9$ のとき、$g(-u)>0$、$g(u)<0$ で、$g$ は三つの異なる実根をもつ。左から順に $g$ の符号は負から正、正から負、負から正と変わるので、$f$ は左の根と右の根で極小、中の根で極大となる。従って極大となる $t$ は $1$ 個、極小となる $t$ は $2$ 個である。

$a=\sqrt6/9$ のときは $g(-u)=0$ だが、$g$ はその点で $0$ に接し、符号を変えない。もう一つの単根では負から正に変わるため、極大となる $t$ は $0$ 個、極小となる $t$ は $1$ 個である。$a>\sqrt6/9$ でも $g(-u)<0$ かつ $g(u)<0$ なので、単根は一つだけであり、そこで負から正に変わる。従って個数は同じく極大 $0$ 個、極小 $1$ 個である。

最終答案

$$\displaystyle f'(t)=\frac{2(2t^3-t-a)}{(4t^2+1)^{3/2}}.$$ 極大・極小となる $t$ の個数は $$\begin{array}{c|cc} a\text{ の範囲}&\text{極大}&\text{極小}\\ \hline 0\le a<\sqrt6/9&1&2\\ \sqrt6/9\le a\le1&0&1 \end{array}$$ である。

使用した解法

接線の方程式と点と直線の距離、商の微分、三次関数の増減と導関数の符号変化を用いた。