4昭和大学 2009年 数学 第4問解答・解説

水門 $i$ が開いている事象を $E_i$ とする。各 $E_i$ は互いに独立で、$P(E_i)=p_i$ である。池Cに水が入るには水路①と②が開いている必要十分があり、池Dに水が入るには①が開き、さらに経路②・③または経路④の少なくとも一方が通れることが必要十分である。従って $$C=E_1\cap E_2,\qquad D=E_1\cap\bigl((E_2\cap E_3)\cup E_4\bigr).$$

(1) 池Cに水が流れ込む確率

独立性から $$\boxed{P(C)=p_1p_2}.$$

(2) 池Dに水が流れ込む確率

経路②・③と経路④の少なくとも一方が通れる確率は、和事象の公式で $$P\bigl((E_2\cap E_3)\cup E_4\bigr) =p_2p_3+p_4-p_2p_3p_4.$$ これに水路①が開く確率を掛けると $$\boxed{P(D)=p_1(p_2p_3+p_4-p_2p_3p_4)}.$$

(3-1) Dに到達しているときCに水が入っている確率

すべての開水確率を $p$ とすると $$P(D)=p(p^2+p-p^3)=p^2+p^3-p^4.$$ また、Cに水が入った上でDにも到達するのは、水路①・②が開き、さらに③または④の少なくとも一方が開く場合である。従って $$P(C\cap D)=p^2\{1-(1-p)^2\}=2p^3-p^4.$$ よって $p>0$ では $$\displaystyle \boxed{P(C\mid D)=\frac{2p^3-p^4}{p^2+p^3-p^4} =\frac{2p-p^2}{1+p-p^2}}.$$ $p=0$ では $P(D)=0$ なので、この条件付確率は定義されない。

(3-2) Dに到達していないときCに水が入っている確率

Cに水が入りDには到達しないためには①・②が開き、③・④がともに閉じる必要がある。したがって $$P(C\cap D^{\mathsf c})=p^2(1-p)^2.$$ さらに $$P(D^{\mathsf c})=1-p^2-p^3+p^4 =(1-p)(1+p-p^3).$$ 従って $0\le p<1$ では $$\displaystyle \boxed{P(C\mid D^{\mathsf c}) =\frac{p^2(1-p)^2}{1-p^2-p^3+p^4} =\frac{p^2(1-p)}{1+p-p^3}}.$$ $p=1$ では $P(D^{\mathsf c})=0$ なので、この条件付確率は定義されない。

(4) 経路②と経路④のちょうど一方でDに到達する確率

経路②・③が開く事象の確率は $p^2$、経路④が開く確率は $p$ であり、この二つの事象は独立である。ちょうど一方だけ通れる確率は $$p^2(1-p)+p(1-p^2).$$ さらに水路①も開く必要があるから、求める確率は $$\boxed{p\{p^2(1-p)+p(1-p^2)\}=p^2+p^3-2p^4}.$$

(5) (4)の確率を最大にする $p$

$F(p)=p^2+p^3-2p^4$ とおくと、$0\le p\le1$ で $$F'(p)=p(2+3p-8p^2).$$ この範囲の停留点は $$\displaystyle p=0,\qquad p=\frac{3+\sqrt{73}}{16}$$ である。もう一方の二次方程式の解 $(3-\sqrt{73})/16$ は負で範囲外。$0<p<(3+\sqrt{73})/16$ では $F'(p)>0$、その後 $F'(p)<0$ となるので、この正の停留点で最大となる。端点 $p=0,1$ では $F(p)=0$。従って $$\displaystyle \boxed{p=\frac{3+\sqrt{73}}{16}}.$$

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)&:\ p_1p_2,\\ (2)&:\ p_1(p_2p_3+p_4-p_2p_3p_4),\\ (3\text{-}1)&:\ \frac{2p-p^2}{1+p-p^2}\quad(p>0),\\ (3\text{-}2)&:\ \frac{p^2(1-p)}{1+p-p^3}\quad(0\le p<1),\\ (4)&:\ p^2+p^3-2p^4,\\ (5)&:\ \frac{3+\sqrt{73}}{16}. \end{aligned}$$ (3-1) は $p=0$、(3-2) は $p=1$ で条件付確率が定義されない。

使用した解法

独立事象の積、和事象・条件付確率の公式、確率関数の微分による最大値判定を用いた。