2弘前大学 2023年 数学 第2問解答・解説

・ 1回目と6回目はともに当たりなので、残る4回の結果を考える。残る4回の当たりの個数が0個、1個、2個となる並びは、それぞれ $$0000,\qquad 1000,0100,0010,0001,\qquad 1010,1001,0110,0101$$ である。ここで1を当たり、0をはずれとした。残る4回に当たりが3個以上ある並びでは、6回全体のどこかに当たりが3回以上続くため条件を満たさない。したがって $$P(a)=p^2(1-p)^4+4p^3(1-p)^3+4p^4(1-p)^2 =p^2(1-p)^2\bigl((1-p)^2+4p(1-p)+4p^2\bigr) =p^2(1-p^2)^2.$$

・ $x=p^2=(a/18)^2$ とおくと、$P(a)=f(x)$, $f(x)=x(1-x)^2$ であり、 $$f'(x)=(1-x)(1-3x).$$ よって $0\le x<1/3$ で増加し、$1/3<x\le1$ で減少する。$a=10$ では $x=100/324<1/3$、$a=11$ では $x=121/324>1/3$ だから、整数 $a$ に対する最大候補は10と11だけである。 $$\displaystyle P(10)=\left(\frac59\left(1-\frac{25}{81}\right)\right)^2 =\left(\frac{280}{729}\right)^2,\qquad P(11)=\left(\frac{11}{18}\left(1-\frac{121}{324}\right)\right)^2 =\left(\frac{2233}{5832}\right)^2.$$ $280/729=2240/5832>2233/5832$ より $P(10)>P(11)$。したがって、求める整数は $a=10$ である。