3弘前大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $\mathbf a=\overrightarrow{OA}$, $\mathbf b=\overrightarrow{OB}$ とおくと $$|AB|^2=|\mathbf b-\mathbf a|^2 =|OA|^2+|OB|^2-2\mathbf a\cdot\mathbf b =9+4-6=7.$$ よって $|AB|=\sqrt7$。仮定から $|AB|=|BC|=|CA|=\sqrt7$ である。また $$|\overrightarrow{AC}|^2=7=9+4-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}$$ より $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=3$、さらに $$|\overrightarrow{BC}|^2=7=4+4-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$$ より $\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac12$。

(2) $\displaystyle \mathbf m=\overrightarrow{OM}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c)$ とする。このとき $$\displaystyle |\mathbf m|^2=\frac14(4+4+2\cdot\tfrac12)=\frac94,\qquad \mathbf m\cdot\mathbf a=\frac12(3+3)=3.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{MA} =(-\mathbf m)\cdot(\mathbf a-\mathbf m) =-3+\frac94=-\frac34.$$ また $ABC$ は一辺 $\sqrt7$ の正三角形だから $$\displaystyle |MO|=\frac32,\qquad |MA|=\sqrt{7-\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}2.$$ ゆえに $$\displaystyle \cos\angle OMA =\frac{\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{MA}}{|MO||MA|} =\frac{-3/4}{(3/2)(\sqrt{21}/2)} =-\frac1{\sqrt{21}}.$$

(3) $\mathbf u=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf v=\overrightarrow{AC}$ とおく。$\mathbf u,\mathbf v$ は平面 $\alpha$ を張り、 $$\displaystyle |\mathbf u|^2=|\mathbf v|^2=7,\qquad \mathbf u\cdot\mathbf v=\frac{7+7-7}{2}=\frac72,$$ $$\overrightarrow{OA}\cdot\mathbf u =\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=3-9=-6, \qquad \overrightarrow{OA}\cdot\mathbf v=-6.$$ $\overrightarrow{AH}=x\mathbf u+y\mathbf v$ とおけば $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+x\mathbf u+y\mathbf v$。$OH\perp\alpha$ より $$\displaystyle -6+7x+\frac72y=0,\qquad -6+\frac72x+7y=0.$$ これを解いて $\displaystyle x=y=\frac47$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{AH}=\frac47\overrightarrow{AB}+\frac47\overrightarrow{AC}.$$