3九州大学 2004年 数学 第3問解答・解説

(1) 原点を通るには $x(t)=0$ と $y(t)=0$ が同時に成り立つ必要がある。まず $$\displaystyle \cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad\text{より}\quad t=\frac{\pi}{4}+k\pi.$$ $0\le t<2\pi$ では候補は $t=\pi/4,5\pi/4$ で、どちらも $y(t)=\cos2t=0$ となる。速度ベクトルは $(x'(t),y'(t))$ であり、 $$\displaystyle x'(t)=-\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),\qquad y'(t)=-2\sin2t.$$ よって $$\displaystyle \boxed{t=\frac{\pi}{4}\text{ では }(-1,-2),\qquad t=\frac{5\pi}{4}\text{ では }(1,-2).}$$

(2) $t_0$ を任意にとる。まず $t_1\equiv t_0+\pi\pmod{2\pi}$ とすれば、周期性から $t_1$ を範囲内に選べて、 $$\displaystyle x(t_1)=\cos\left(t_0+\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-x(t_0),\qquad y(t_1)=\cos(2t_0+2\pi)=y(t_0).$$ したがって、$C$ 上の点 $(x(t_0),y(t_0))$ とその $y$ 軸対称点 $(-x(t_0),y(t_0))$ はともに $C$ 上にある。

次に $t_2\equiv3\pi/2-t_0\pmod{2\pi}$ とする。このとき $$\displaystyle x(t_2)=\cos\left(\frac{7\pi}{4}-t_0\right) =\cos\left(t_0+\frac{\pi}{4}\right)=x(t_0),$$ （余弦の偶関数性と周期性を使った。）また $$y(t_2)=\cos(3\pi-2t_0)=-\cos2t_0=-y(t_0).$$ よって $x$ 軸対称な点も $C$ 上にある。以上から $C$ は $x$ 軸、$y$ 軸の両方に関して対称である。

(3) $s\equiv t+\pi/4\pmod{2\pi}$ とおくと、$t$ が $0\le t<2\pi$ の範囲を動くとき $s$ もちょうど一周し、 $$\displaystyle x=\cos s,\qquad y=\cos\left(2s-\frac{\pi}{2}\right)=\sin2s=2\sin s\cos s.$$ したがって $$-1\le x\le1,\qquad y^2=4x^2(1-x^2).$$ 逆に、この範囲でこの式を満たす点は $y=\pm2|x|\sqrt{1-x^2}$ の枝にあり、$\cos s=x$ となる2つの角の正負の $\sin s$ がそれぞれの符号を与えるので、すべて実際に軌跡上にある。

式から、$x=\pm1$ では $y=0$、$x=0$ でも $y=0$。また $y^2=4u(1-u)$（$u=x^2$）と見ると、$0\le u\le1$ で最大は $u=1/2$ のときの1だから、上下の端は $(\pm1/\sqrt2,\pm1)$。原点には $t=\pi/4,5\pi/4$ の2通りで到達し、(1)の速度ベクトルから接線の傾きはそれぞれ $2$ と $-2$ である。よって軌跡は原点で交差し、左右に1つずつ輪を持つ横向きの8の字形となる。別添の軌跡図に示す。

(4) 右側の輪では上側が $y=2x\sqrt{1-x^2}$、下側が $y=-2x\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le1$）。その面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S_{\rm right}&=\int_0^1 4x\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=2\int_0^1\sqrt{u}\,du=\frac43\qquad (u=1-x^2,\ du=-2x\,dx). \end{aligned}$$ (2)の $y$ 軸対称性から左側の輪の面積も $4/3$。したがって囲まれた全体の面積は $$\displaystyle \boxed{S=\frac43+\frac43=\frac83}.$$