2宮崎大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$OA=OB=OC=1$ であり、各ベクトルのなす角から、 $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac12,\qquad \vec c\cdot\vec a=0.$$ また、$D$ は $OB$ を $3:1$ に内分するので、$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac34\vec b$ である。

(1) より、求める内積は $\displaystyle \frac12,\frac12,0$ である。

(2) 内積を用いて距離の平方を計算すると、 $$\displaystyle \begin{aligned}\overline{DA}^{\,2}&=\left(\vec a-\frac34\vec b\right)\cdot\left(\vec a-\frac34\vec b\right)=1-\frac32\cdot\frac12+\frac9{16}=\frac{13}{16},\\\overline{DC}^{\,2}&=\left(\vec c-\frac34\vec b\right)\cdot\left(\vec c-\frac34\vec b\right)=1-\frac32\cdot\frac12+\frac9{16}=\frac{13}{16}.\end{aligned}$$ したがって、$\displaystyle DA=DC=\frac{\sqrt{13}}4$。

(3) $DA=DC$ より、$\triangle ACD$ は二等辺三角形である。 $$AC^2=(\vec c-\vec a)\cdot(\vec c-\vec a)=1+1-2\cdot0=2$$ より $AC=\sqrt2$。$D$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $M$ とすると、二等辺三角形なので $M$ は $AC$ の中点であり、 $$\displaystyle DM^2=DA^2-AM^2=\frac{13}{16}-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac5{16}.$$ よって $\displaystyle DM=\frac{\sqrt5}{4}$ であり、 $$\displaystyle [\triangle ACD]=\frac12\,AC\cdot DM=\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt5}{4}=\frac{\sqrt{10}}8.$$

(4) $\overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$ とおく。$A,C,D$ の位置ベクトルはそれぞれ $\displaystyle \vec a,\vec c,\frac34\vec b$ だから、平面 $ACD$ 上の点の係数は $\displaystyle x+\frac43y+z=1$ を満たす。$OH$ はこの平面に垂直なので、$\vec c-\vec a$ および $\displaystyle \frac34\vec b-\vec a$ と垂直である。 $$\displaystyle \begin{aligned}0&=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec c-\vec a)=-x+z,\\0&=\overrightarrow{OH}\cdot\left(\frac34\vec b-\vec a\right)=-\frac58x+\frac14y+\frac38z.\end{aligned}$$ 第1式から $z=x$、これを第2式に代入して $y=x$ を得る。これらを平面の条件に代入すると $\displaystyle \frac{10}{3}x=1$、したがって $\displaystyle x=y=z=\frac3{10}$。ゆえに、 $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac3{10}(\vec a+\vec b+\vec c).$$

各角から内積を計算し、内分点の位置ベクトルを用いて距離を求める。等しい二辺を使って底辺への高さを出し、最後は平面の係数条件と法線条件から垂線の足を決める。