2神戸大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $\overrightarrow{PA}$=$\mathbf{u}$, $\overrightarrow{PB}$=$\mathbf{v}$, q=$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ とおく。$\overrightarrow{AB}$=$\mathbf{v}$-$\mathbf{u}$ であり、$\left|\overrightarrow{AB}\right|$=2 だから $$|\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2=4,\qquad |\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}|^2=4+2q.$$ M は AB の中点なので $\overrightarrow{PM}$=($\mathbf{u}$+$\mathbf{v}$)/2 である。したがって $$\displaystyle \left|\overrightarrow{PM}\right|^2 =\frac{|\mathbf{u}|^2+2q+|\mathbf{v}|^2}{4} =\frac{4+4q}{4} =1+q.$$ よって $\left|\overrightarrow{PM}\right|^2$=1+$\overrightarrow{PA}$$\cdot$$\overrightarrow{PB}$ である。

(2)　 G は三角形 PAB の重心だから $\overrightarrow{PG}$=($\mathbf{u}$+$\mathbf{v}$)/3 である。よって $$\displaystyle \overrightarrow{GA}=\frac{2\mathbf{u}-\mathbf{v}}{3},\qquad \overrightarrow{GB}=\frac{2\mathbf{v}-\mathbf{u}}{3}.$$ $\angle$ AGB=$\pi$/2 より $\overrightarrow{GA}$$\cdot$$\overrightarrow{GB}$=0 である。また $$\displaystyle 0=\frac{(2\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(2\mathbf{v}-\mathbf{u})}{9} =\frac{5q-2(|\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}|^2)}{9} =\frac{q-8}{9}.$$ したがって q=8、すなわち $\overrightarrow{PA}$$\cdot$$\overrightarrow{PB}$=8 である。

(3)　 B を原点とする位置ベクトルを考え、$\overrightarrow{BA}$=$\mathbf{a}$, $\overrightarrow{BP}$=$\mathbf{p}$, $\overrightarrow{BM}$=$\mathbf{m}$=$\mathbf{a}$/2 とおく。$\left|\mathbf{a}\right|$=2 より $\left|\mathbf{m}\right|$=1 である。条件は $$\displaystyle \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =(\mathbf{a}-\mathbf{p})\cdot(-\mathbf{p}) =|\mathbf{p}|^2-\mathbf{a}\cdot\mathbf{p} =\frac54$$ である。$\mathbf{a}$=2$\mathbf{m}$ を用いると $$\displaystyle |\overrightarrow{MP}|^2=|\mathbf{p}-\mathbf{m}|^2 =|\mathbf{p}|^2-\mathbf{a}\cdot\mathbf{p}+|\mathbf{m}|^2 =\frac54+1=\frac94.$$ ゆえに P は、中心 M、半径 3/2 の円上を動く。

重心の位置ベクトルから $$\displaystyle \overrightarrow{BG}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{p}}{3} =\mathbf{m}+\frac{\mathbf{p}-\mathbf{m}}{3}$$ となるので、G は中心 M、半径 1/2 の円上を動く。また BA と BM は同じ向きだから $\angle$ ABG=$\angle$ MBG とおける。

三角形 BMG で BM=1>MG=1/2 なので、$\theta$=$\angle$ MBG は鋭角である（直角以上なら、その対辺 MG が BM 以上になる）。H を M から直線 BG に下ろした垂線の足とすると $$\displaystyle \sin\theta=\frac{MH}{BM}=MH\le MG=\frac12.$$ したがって $\theta$$\le$$\pi$/6 である。B からこの円に接線を引くことができ、その接点 T では MT$\perp$ BT だから $$\displaystyle \sin\angle MBT=\frac{MT}{BM}=\frac12,\qquad \angle MBT=\frac{\pi}{6}.$$ 接点 T に対して $\overrightarrow{MP}$=3$\overrightarrow{MT}$ となる P を取れば、上で得た条件を満たし、P は AB 上にない。よってこの上限は実現し、$\displaystyle \max$$\angle$ ABG=$\pi$/6 である。