4神戸大学 2019年 数学 第4問解答・解説

数列は $1,3,4$ の3項を繰り返す。3項の和は $1+3+4=8$ である。$n=3q+r$（$r=0,1,2$）とおくと、$r=0$ のとき $q\ge 1$、$r=1,2$ のとき $q\ge 0$ であり、 $$S_{3q}=8q,\qquad S_{3q+1}=8q+1,\qquad S_{3q+2}=8q+4.$$ (1) これが求める和である。

(2) 上の式から $S_n$ を8で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。一方、$2019=8\cdot252+3$ なので $2019$ を8で割った余りは3である。したがって $S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しない。

(3) $k$ を正の自然数とし、4で割った余りに応じて場合分けする。

(i) $k=4m$（$m\ge1$）ならば $k^2=16m^2=8(2m^2)$ である。$q=2m^2$ として $n=3q=6m^2$ とおけば、$S_n=8q=k^2$。

(ii) $k=4m+2$（$m\ge0$）ならば $k^2=16m^2+16m+4=8(2m^2+2m)+4$ である。$q=2m^2+2m$ として $n=3q+2=6m^2+6m+2$ とおけば、$S_n=8q+4=k^2$。

(iii) $k=2m+1$（$m\ge0$）ならば $m(m+1)$ は偶数なので $q=m(m+1)/2$ は整数である。また、$k^2=4m(m+1)+1=8q+1$ である。$n=3q+1$ とおけば、$S_n=8q+1=k^2$。

いずれの場合も $n$ は正の自然数である。よって、どのような正の自然数 $k$ に対しても $S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在する。