4琉球大学 2020年 数学 第4問解答・解説

出る数を4で割った余りが0となる数は4の1個、各非零剰余1,2,3となる数はそれぞれ2個である。従って $$\displaystyle p_1=\frac17.$$ 2回の和が4の倍数となる剰余の組は $(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)$。出目の組数は $1+4+4+4=13$ より $$\displaystyle p_2=\frac{13}{49}.$$ n回後の和が0剰余である確率を $p_n$ とする。次の1回が余り0である確率は $1/7$。現在の和が1,2,3のいずれかなら、それを0にする数は各2個なので、全体の寄与は $2(1-p_n)/7$。よって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac{p_n}{7}+\frac{2(1-p_n)}7=\frac{2-p_n}{7}.$$ この漸化式の不動値は $1/4$ であり、 $$\displaystyle p_{n+1}-\frac14=-\frac17\left(p_n-\frac14\right),\qquad p_1-\frac14=-\frac3{28}.$$ 従って $$\displaystyle p_n=\frac14-\frac3{28}\left(-\frac17\right)^{n-1}.$$

余り0の出目は$\{4\}$、他の余りは各2個。$p_2$は有利な$13/49$。遷移式は$p_n$のほかの剰余の合計$1-p_n$だけに依存するため剰余間の対称性を仮定せず成立。