4熊本大学 2001年 数学 第4問解答・解説

札は計 $1+2+3+4+5=15$ 枚であり、3枚の選び方は $\displaystyle \binom{15}{3}=455$ 通りである。

(1) 奇数札は9枚、偶数札は6枚。和が偶数になるのは奇数札を0枚または2枚選ぶ場合だから $$\displaystyle \binom63+\binom92\binom61=20+216=236.$$ よって確率は $236/455$。

(2) 3で割った余りが0,1,2である札は、それぞれ3枚、5枚、7枚ある。それらを選ぶ枚数を $x,y,z$ とすると、$x+y+z=3$ かつ $y+2z\equiv0\pmod3$ を満たす組は $$(x,y,z)=(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(1,1,1)$$ である。対応する選び方の数は $$\displaystyle \binom33+\binom53+\binom73+3\cdot5\cdot7=1+10+35+105=151.$$ よって確率は $151/455$。