1熊本大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=-x$ とおくと $t>0$ である。$\displaystyle q(t)=e^t-1-t-\frac{t^2}{2}$ とおくと、$q(0)=q'(0)=0$ であり、$t>0$ では $$q''(t)=e^t-1>0$$ である。よって $q'(t)>0$、さらに $q(t)>0$ となるから、 $$\displaystyle e^t>1+t+\frac{t^2}{2}$$ である。そこで $f(t)=e^t-t^2-1$ とおけば、 $$\displaystyle f'(t)=e^t-2t>1-t+\frac{t^2}{2} =\frac{(t-1)^2+1}{2}>0.$$ また $f(0)=0$ であるから、$t>0$ で $f(t)>0$。したがって $e^{-x}>x^2+1$ である。

(2) 2曲線の交点では $xe^{-x}=x(x^2+1)$ である。$x=0$ は交点であり、$x\ne0$ なら $e^{-x}=x^2+1$ となる。しかし $x<0$ では (1) より $e^{-x}>x^2+1$、$x>0$ では $e^{-x}<1<x^2+1$ である。よって交点は $x=0$ だけである。また $-1\le x<0$ では (1) の不等式に負の $x$ を掛けると不等号が逆転するので、 $$xe^{-x}<x(x^2+1)$$ となる。したがって求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{0}\left\{x(x^2+1)-xe^{-x}\right\}\,dx &=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+(x+1)e^{-x}\right]_{-1}^{0}\\ &=1-\left(\frac14+\frac12\right)=\frac14. \end{aligned}$$ なお、原始関数の指数関数の項は $\displaystyle \int -xe^{-x}\,dx=(x+1)e^{-x}$（部分積分）である。