熊本大学 2001年数学第2問解答・解説

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1問題

熊本大学2001年度第2問

座標平面上の点 $P_n(n,1)$ ， $n=1,2,\ldots$ に対して，点 $P_1$ から原点 $O$ と点 $P_n\ (n\geq2)$ を通る直線へ下ろした垂線を $P_1Q_n$ とし，2つのベクトル $\overrightarrow{OP_1}$ ， $\overrightarrow{Q_nP_1}$ のなす角を $\theta_n$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\overrightarrow{Q_nP_1}$ の成分を求めよ。

(2) $\cos\theta_n$ を求めよ。

(3) $\tan\theta_n<1.01$ をみたす最小の $n$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \overrightarrow{Q_nP_1}=\left(-\frac{n-1}{n^2+1},\frac{n(n-1)}{n^2+1}\right)\quad$ . (2) $\displaystyle \quad \cos\theta_n=\frac{n-1}{\sqrt{2(n^2+1)}}\quad$ . (3) 最小値 $\quad n=202\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$Q_n=(nt,t)$ とおく。 $\overrightarrow{Q_nP_1}=(1-nt,1-t)$ と $\overrightarrow{OP_n}=(n,1)$ は垂直なので $n(1-nt)+(1-t)=0$ 、よって $t=(n+1)/(n^2+1)$ 。これから $\displaystyle \overrightarrow{Q_nP_1}=\left(-\frac{n-1}{n^2+1},\frac{n(n-1)}{n^2+1}\right)$ 。

$n\ge2$ で内積と長さを用いると $\displaystyle \cos\theta_n=\frac{n-1}{\sqrt{2(n^2+1)}}>0$ 、 $\displaystyle \sin\theta_n=\frac{n+1}{\sqrt{2(n^2+1)}}$ 。従って $\displaystyle \tan\theta_n=\frac{n+1}{n-1}$ 。

$\displaystyle \frac{n+1}{n-1}<1.01$ は $100(n+1)<101(n-1)$ 、すなわち $n>201$ と同値。最小の整数は $202$ 。

垂線の足を直線上の座標で置き、内積0から射影点を求めて角と不等式を計算。

この問題で使う考え方

座標表示
内積による垂直条件
三角比の相互関係
整数不等式

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