3鹿児島大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad AC:CB&=OA:OB=2:3,\\ \overrightarrow{OC}&=\frac{3\vec a+2\vec b}{5}.\\[4pt] (2)\quad \operatorname{proj}_{OA}\vec b&=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a=\frac t4\vec a,\\ \overrightarrow{OD}&=2\operatorname{proj}_{OA}\vec b-\vec b=\frac t2\vec a-\vec b.\\[4pt] (3)\quad 0&=(3\vec a+2\vec b)\cdot\left(\frac t2\vec a-\vec b\right)=t^2+3t-18=(t+6)(t-3).\\ |t|&<|\vec a||\vec b|=6\quad\text{(非共線)},\quad t=3,\\ \cos\angle AOB&=\frac{t}{6}=\frac12,\quad \angle AOB=60^\circ,\\ OC^2&=\frac{9|\vec a|^2+12t+4|\vec b|^2}{25}=\frac{108}{25},\quad OC=\frac{6\sqrt3}{5}. \end{aligned}$$

(1) 角の二等分線定理より $AC:CB=OA:OB=2:3$。内分点の位置ベクトルは $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}5=\frac{3\vec a+2\vec b}{5}$。 (2) $B$ を直線 $OA$ に射影したベクトルは $\displaystyle \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a=\frac t4\vec a$。線対称点 $D$ は射影点の両側で等距離なので $\displaystyle \overrightarrow{OD}=2\left(\frac t4\vec a\right)-\vec b=\frac t2\vec a-\vec b$。 (3) 垂直条件を内積に直すと $\displaystyle 0=5\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=(3\vec a+2\vec b)\cdot\left(\frac t2\vec a-\vec b\right)=t^2+3t-18=(t+6)(t-3)$。三点 $O,A,B$ は一直線上にないので $|t|<|\vec a||\vec b|=6$、従って $t=-6$ は不可能で $t=3$。よって $\displaystyle \cos\angle AOB=\frac{t}{2\cdot3}=\frac12$、$\angle AOB=60^\circ$。さらに $\displaystyle |OC|^2=\left|\frac{3\vec a+2\vec b}{5}\right|^2=\frac{9\cdot4+12t+4\cdot9}{25}=\frac{108}{25}$ より $\displaystyle OC=\frac{6\sqrt3}{5}$。