鹿児島大学 2012年数学第2問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2012年度第2問

$x$ の関数 $f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$ について，次の各問いに答えよ。

(1) $t=2^x+2^{-x}$ とおく。 $f(x)$ を $t$ の関数として表したものを $g(t)$ とするとき， $g(t)$ を求めよ。

(2) $t=2^x+2^{-x}$ のとる値の範囲を求めよ。

(3) $t$ が(2)で求めた範囲を動くとき，関数 $y=g(t)$ の増減を調べよ。

(4) $x\geq0$ のとき，関数 $f(x)$ の最小値とその最小値を与える $x$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $g(t)=t^3-9t^2+24t-8$ . (2) $2\le t<\infty$ . (3) $[2,4]$ で減少、 $[4,\infty)$ で増加. (4) 最小値 $8$ 、 $x=\log_2(2+\sqrt3)$ .

解答を見る途中式つきの解答

$g(t)=t^3-9t^2+24t-8$ ,　 $t\ge2$ .　 $g$ は $2\le t\le4$ で減少し $t\ge4$ で増加。　 $\displaystyle \min\limits _{x\ge0}f(x)=8$ 　(x= $\log_2$ (2+ $\sqrt3$ )).

この問題で使う考え方

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