2琉球大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=\cosh x$,　 $f'(x)=\sinh x$,　 $f''(x)=\cosh x=f(x)$.　 $f(x)^2-f'(x)^2=\cosh^2x-\sinh^2x=1$.

直交条件から $\displaystyle \sinh a\,\sinh b=-1,\quad \sinh b=-\frac{1}{\sinh a}$.

$\displaystyle L=\int_b^a\sqrt{1+\sinh^2x}\,dx=\sinh a-\sinh b=\sinh a+\frac{1}{\sinh a}$.

$s=\sinh a>0$ とおけば $\displaystyle L=s+\frac{1}{s}\geq2$, 等号は $s=1$.　 $a=\operatorname{arsinh}1=\log(1+\sqrt2)$.

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$、$f'(x)=\sinh x$、$f''(x)=\cosh x$。よって$f(x)^2-f'(x)^2=\cosh^2x-\sinh^2x=1$、$f''(x)=f(x)$。 P,Qでの接線の傾きはそれぞれ$\sinh a,\sinh b$。直交条件より$\sinh a\cdot\sinh b=-1$。$a>0$なので$\sinh a>0$、従って$\displaystyle \sinh b=-\frac{1}{\sinh a}<0$で$b<0<a$。 曲線の弧長は$\displaystyle L=\int_b^a\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx=\int_b^a\sqrt{1+\sinh^2x}\,dx$。$\cosh x>0$より被積分関数はcosh xだから、$\displaystyle L=\sinh a-\sinh b=\sinh a+\frac{1}{\sinh a}$。 $s=\sinh a>0$とすると$\displaystyle s+\frac{1}{s}\geq2$で、等号は$s=1$。従って$a=\operatorname{arsinh}1=\log(1+\sqrt{2})$。