3琉球大学 2026年 数学 第3問解答・解説

PDF p1全4問必答、p8問3の複素数と実変数極限を確認。医学科対応は固定書誌による。

問1では、$\displaystyle \alpha=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ とおく。ド・モアブルの定理より $\alpha^5=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$ である。また $\displaystyle 0<\frac{2\pi}{5}<\pi$ より $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{5}>0$ なので $\alpha\ne1$。したがって $$(\alpha-1)(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)=\alpha^5-1=0$$ から、$1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$。

問2では $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{5}$、$c=\cos\theta$ とおく。ド・モアブルの定理より $\alpha^k=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)$ である。問1の等式の実部をとると $$1+2\cos\theta+2\cos2\theta=0.$$ 二倍角の公式 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ を用いて整理すると $$4c^2+2c-1=0,$$ したがって $\displaystyle c=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$。ここで $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ なので $c>0$ であり、$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}$。

問3では分子内の複素数を $S(t)$ とおく。$\alpha$ は非実数であるから、実数 $t$ に対して $t-\alpha\ne0$。差の5乗の因数分解を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=t^4+t^3\alpha+t^2\alpha^2+t\alpha^3+\alpha^4\\ &=\frac{t^5-\alpha^5}{t-\alpha} =\frac{t^5-1}{t-\alpha}. \end{aligned}$$ $t\ne1$ のとき $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$ だから $$\displaystyle \frac{|S(t)|^2}{(t-1)^2} =\frac{(t^4+t^3+t^2+t+1)^2}{|t-\alpha|^2}.$$ 右辺の分母は $t\to1$ で $|1-\alpha|^2\ne0$ となるので、連続性により極限は $\displaystyle \frac{25}{|1-\alpha|^2}$。さらに $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{5}$ とおけば $$\displaystyle |1-\alpha|^2=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2(1-\cos\theta)=\frac{5-\sqrt5}{2}.$$ よって求める極限値は $$\displaystyle \frac{25}{(5-\sqrt5)/2}=\frac{25+5\sqrt5}{2}.$$