1琉球大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 部分積分により $$\displaystyle \int xe^{-x/2}\,dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}+C.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^2 xe^{-x/2}\,dx=\left[-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}\right]_0^2=4-\frac8e.$$

(2) 積分で定まる定数を $$\displaystyle A=\int_0^2\{f(t)-2\}t\,dt$$ とおくと、問題の式は $\displaystyle f(x)=e^{-x/2}+\frac32A$。これを $A$ の式へ代入して(1)を使うと $$\displaystyle A=\left(4-\frac8e\right)+\left(\frac32A-2\right)\int_0^2t\,dt =\left(4-\frac8e\right)+3A-4 =3A-\frac8e.$$ よって $A=4/e$ であり、 $$\displaystyle f(x)=e^{-x/2}+\frac6e.$$ 確認としてこの式を積分定義に代入すると $$\displaystyle \int_0^2\{f(t)-2\}t\,dt=\left(4-\frac8e\right)+2\left(\frac6e-2\right)=\frac4e,$$ 元の関数方程式を満たす。