4新潟大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分で$\displaystyle \int x e^{2x}\,dx=\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)e^{2x}$です。また$\displaystyle \int kx\,dx=\frac{kx^2}{2}$なので、$\displaystyle \int f(x)\,dx=\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)e^{2x}-\frac{kx^2}{2}+C$ となります。

(2) $f(x)=x\left(e^{2x}-k\right)$です。$x=0$ は常に解です。$x>0$ の解は $e^{2x}=k$ から $\displaystyle x=\frac{\log k}{2}$ で、これが正となるのは $k>1$ のときに限ります。したがって異なる2解をもつ条件は $k>1$ で、大きい方の解を $a$ とすれば $\displaystyle a=\frac{\log k}{2}$、$k=e^{2a}$ です。

(3) $0<a\le1$ として $k=e^{2a}$ を代入すると $f(x)=x\left(e^{2x}-e^{2a}\right)$ です。$0<x<a$ では負、$a<x\le1$ では正です。$\displaystyle J(b)=\int_0^b x e^{2x}\,dx=\left(\frac b2-\frac14\right)e^{2b}+\frac14$ とおくと、$\displaystyle S=\int_0^1 f(x)\,dx-2\int_0^a f(x)\,dx$ です。代入して整理すると $\displaystyle S=\frac{e^2-1}{4}+(a^2-a)e^{2a}$ となります。

(4) $S'(a)=e^{2a}(2a^2-1)$です。$\displaystyle 0<a<\frac1{\sqrt2}$ では負、$\displaystyle \frac1{\sqrt2}<a\le1$ では正だから、$0<a\le1$ の範囲での最小は $\displaystyle a=\frac1{\sqrt2}$ でとります。最小値は $\displaystyle \frac{e^2-1}{4}+\left(\frac12-\frac1{\sqrt2}\right)e^{\sqrt2}$ です。