6新潟大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) $\displaystyle \dfrac{d}{dx}(-\log\cos x)=\tan x$ より $$\displaystyle I_1=\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx =\left[-\log\cos x\right]_0^{\pi/4} =-\log\frac{\sqrt2}{2} =\frac12\log 2.$$

(2) $\,1+\tan^2x=\sec^2x$ と $\displaystyle \dfrac{d}{dx}(\tan^{2n}x)=2n\tan^{2n-1}x\sec^2x$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} I_{n+1}+I_n &=\int_0^{\pi/4}\tan^{2n-1}x(1+\tan^2x)\,dx\\ &=\left[\frac{\tan^{2n}x}{2n}\right]_0^{\pi/4} =\frac1{2n}. \end{aligned}$$

(3) $0\leq x\leq\pi/4$ では $\tan x\geq0$。$x>0$ とし $\displaystyle h(x)=\dfrac{\tan x}{x}$ とおくと $$\displaystyle h'(x)=\frac{x\sec^2x-\tan x}{x^2} =\frac{x-\sin x\cos x}{x^2\cos^2x}.$$ ここで $g(x)=x-\sin x\cos x$ とおけば $$g(0)=0,\qquad g'(x)=1-\cos 2x=2\sin^2x\geq0.$$ 従って $g(x)\geq0$ であり、$h'(x)\geq0$。よって $h$ は $0<x\leq\pi/4$ で増加し、 $$\displaystyle \frac{\tan x}{x}\leq\frac{\tan(\pi/4)}{\pi/4}=\frac4\pi.$$ $x=0$ でも不等式は等号で成り立つ。以上より $$\displaystyle 0\leq\tan x\leq\frac4\pi x\qquad(0\leq x\leq\pi/4).$$

(4) (3)を $I_n$ の被積分関数に用いると $$\displaystyle 0\leq I_n\leq\int_0^{\pi/4}\left(\frac4\pi x\right)^{2n-1}dx =\left(\frac4\pi\right)^{2n-1}\frac{(\pi/4)^{2n}}{2n} =\frac{\pi}{8n}.$$ 従って $I_n\to0$。また (2) より $\displaystyle \dfrac1k=2(I_{k+1}+I_k)$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k} &=2\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^k(I_{k+1}+I_k)\\ &=-2I_1+2(-1)^nI_{n+1}. \end{aligned}$$ $I_{n+1}\to0$ と (1) を用いれば $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k} =-2I_1=-\log 2.$$