北海道大学 2026年数学第2問解答・解説

積分法極限

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1問題

北海道大学2026年度第2問

関数 $f(x)$ を次によって定める。

$\displaystyle f (x) = \int_ {0} ^ {x} \left\{\sin (x - t) - \frac {t}{4} \right\} ^ {2} d t$

次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle \int_{0}^{x} t \sin(x - t) dt$ を x の式で表せ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

(3) $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{f(x)}{x^{3}}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $x-\sin x$ 。 (2) $\displaystyle f(x)=\frac12\sin x-\frac14\sin2x+\frac{x^3}{48}=\frac12\sin x(1-\cos x)+\frac{x^3}{48}$ 。 (3) $\displaystyle \frac{13}{48}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 部分積分で $\displaystyle \int_0^x t\sin(x-t)\,dt =[t\cos(x-t)]_0^x-\int_0^x\cos(x-t)\,dt=x-\sin x.$ (2) 定義の平方を展開して $u=x-t$ と置き、(1)を使うと $\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^x\sin^2u\,du-\frac12\int_0^x t\sin(x-t)\,dt+\frac{x^3}{48}\\ &=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}-\frac{x-\sin x}{2}+\frac{x^3}{48}\\ &=\frac12\sin x(1-\cos x)+\frac{x^3}{48}. \end{aligned}$ (3) 半角公式を用いて $\displaystyle \frac{f(x)}{x^3} =\frac12\frac{\sin x}{x}\cdot\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2+\frac1{48} \longrightarrow\frac14+\frac1{48}=\frac{13}{48}.$

この問題で使う考え方

部分積分
三角関数の平方展開
半角公式と基本極限

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