3北海道大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\alpha=x+iy\ (x,y\text{ は実数})\text{ とおく。}\ |\alpha|=1\text{ より }x^2+y^2=1\text{ であり、条件から} \quad |\alpha+\overline{\alpha}|=2|x|,\qquad |\alpha-\overline{\alpha}|=2|y|\text{ なので }|x|=|y|. \text{偏角が第2象限にあるから }x<0<y\text{ で、}y=-x.\text{ よって }2x^2=1\text{ となり、} \quad \alpha=\frac{-1+i}{\sqrt2}. \text{(2) }\beta^3=1\text{ かつ }\operatorname{Im}\beta>0\text{ より、}\beta=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+i\sqrt3}{2}. \text{条件 }w(z-\beta)=1\text{ から }w\ne0,\ z=\beta+\frac1w.\text{ }|z|=1\text{ を使うと} \quad |\beta w+1|=|w|. \text{両辺を2乗し、} |\beta|=1\text{ を用いれば} \quad |w|^2+2\operatorname{Re}(\beta w)+1=|w|^2,\qquad \operatorname{Re}(\beta w)=-\frac12. \text{ここで }w=x+iy\text{ とすると }\operatorname{Re}(\beta w)=\frac{-x-\sqrt3y}{2}\text{ だから} \quad x+\sqrt3y=1. \text{逆に、この直線上の }w\text{ は }w\ne0\text{ なので }z=\beta+1/w\text{ と定められ、上の同値変形から }|z|=1\text{、かつ }z\ne\beta\text{ である。したがって軌跡は直線全体 }x+\sqrt3y=1\text{ である。傾きは }-1/\sqrt3\text{、切片は }(1,0)\text{ と }(0,1/\sqrt3)\text{。}$$