4北海道大学 2026年 数学 第4問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

数学解説

(1) 平面の切片

平面を $lx+my+nz=d$ とおく。$C(0,0,h)$ より $d=nh$。$P(1,0,3)$ と $Q(0,2,3)$ を代入して $$l=(h-3)n,\qquad 2m=(h-3)n.$$ $h>3$ なので $n\ne0$ としてよく、平面は $$\displaystyle (h-3)x+\frac{h-3}{2}y+z=h$$ と書ける。$x$ 軸上では $y=z=0$ だから、$A$ の $x$ 座標は $$\displaystyle \boxed{\frac{h}{h-3}}.$$

(2) 体積

同じ平面と $y$ 軸との交点は $B=(0,2h/(h-3),0)$。$O,A,B$ は $xy$ 平面上にあり、底面積は $\displaystyle \frac12\cdot h/(h-3)\cdot2h/(h-3)=h^2/(h-3)^2$。点 $C$ から $xy$ 平面までの距離は $h$ なので $$\displaystyle V=\frac13\frac{h^2}{(h-3)^2}h=\boxed{\frac{h^3}{3(h-3)^2}}.$$

(3) 最小値

$$\displaystyle V'(h)=\frac{h^2(h-9)}{3(h-3)^3}.$$ $3<h<9$ で減少、$h>9$ で増加する。よって $h=9$ で最小となり $$\displaystyle V_{\min}=\frac{9^3}{3\cdot6^2}=\boxed{\frac{27}{4}}.$$

単元・方法・テーマ

単元：数学II「図形と方程式」、数学II「微分法」。方法：平面方程式を3点代入で決定、底面積と高さによる四面体体積、導関数の符号判定。テーマ：平面の座標切片とパラメータ付き体積最小化。