4京都大学 2026年 数学 第4問解答・解説

正三角形の1辺を $L$ とし、その内心を原点とする。各辺の外向き単位法線を $n_1,n_2,n_3$ とすれば、互いの角は $120^\circ$ で、 $$n_1+n_2+n_3=0.$$ 内心から各辺までの距離（内接円の半径）は $$\displaystyle r=\frac{\sqrt3}{6}L$$ である。したがって正三角形は $$n_i\mathbin{\cdot}X\leq r\qquad(i=1,2,3)$$ で表される。

1辺1の正方形の1辺の方向を角 $\varphi$ とする。法線の方向を $\theta_i$ とすると、正方形の法線 $n_i$ 方向の幅は $$w_i=|\cos(\theta_i-\varphi)|+|\sin(\theta_i-\varphi)|.$$ 正方形の中心を $c$ とすれば、その頂点のうち $n_i$ 方向への射影が最大のものは $n_i\mathbin{\cdot}c+w_i/2$ である。4頂点すべてが正三角形内にあるためには $$\displaystyle n_i\mathbin{\cdot}c+\frac{w_i}{2}\leq r\qquad(i=1,2,3)$$ が必要である。これらを足し、$n_1+n_2+n_3=0$ を使うと $$w_1+w_2+w_3\leq6r=\sqrt3L.$$

ここで $w(t)=|\cos t|+|\sin t|$ とおくと、$w$ は偶関数で周期 $\pi/2$ である。3つの法線の方向は $120^\circ$ ずつ離れているから、正方形の回転角による幅の和は、角度の取り方を変数 $\alpha$ に置き換えて $$\displaystyle W(\alpha)=w(\alpha)+w\left(\alpha+\frac\pi6\right)+w\left(\alpha+\frac\pi3\right)$$ と書ける。$W$ は周期 $\pi/6$ かつ偶関数なので、最小値を調べる範囲は $0\leq\alpha\leq\pi/12$ でよい。この範囲では各項の絶対値を外せるため $$\displaystyle W'(\alpha)=(1+\sqrt3)\left(\cos\left(\alpha+\frac\pi6\right)-\sin\left(\alpha+\frac\pi6\right)\right)\geq0.$$ よって最小値は $\alpha=0$ のときであり、 $$\displaystyle W_{\min}=w(0)+w\left(\frac\pi6\right)+w\left(\frac\pi3\right)=2+\sqrt3.$$ 以上から、どの配置でも $$\displaystyle L\geq\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3}=1+\frac2{\sqrt3}.$$

この下限が実現できることを確かめる。内心を原点とし、3法線を $$\displaystyle n_1=(1,0),\quad n_2=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad n_3=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ とする。$L=1+2/\sqrt3$ の正三角形の内接円半径は $r=(2+\sqrt3)/6$ である。辺を座標軸に平行にした単位正方形の中心を $$\displaystyle c=\left(\frac{\sqrt3-1}{6},0\right)$$ に置く。このとき3方向の幅は $1,(1+\sqrt3)/2,(1+\sqrt3)/2$ であり、各方向の頂点の最大射影は $$\displaystyle n_1\mathbin{\cdot}c+\frac12 =n_2\mathbin{\cdot}c+\frac{1+\sqrt3}{4} =n_3\mathbin{\cdot}c+\frac{1+\sqrt3}{4} =r.$$ したがって正方形の全頂点はこの正三角形の内部または辺上にある。この下限は達成され、求める最小値は $$\displaystyle \boxed{1+\frac2{\sqrt3}}.$$