3獨協医科大学 2021年 1日目 数学 第3問解答・解説

単位円$x^2+y^2=1$上の接点$A,B$における接線は、それぞれ$A\cdot X=1$、$B\cdot X=1$である。交点$P$は両式を満たすので、弦$AB$の方程式は$P\cdot X=1$。この直線の法線は$OP$方向である。$H=\lambda P$とおけば$P\cdot H=1$から$\lambda|P|^2=1$、従って$OH=1/OP$であり、 $$OH\cdot OP=1.$$ 　 (1) $P=(2,4)$なら$OP^2=20$。$H$は線分$OP$上にあるので$PH=OP-OH$、したがって $$PH\cdot PO=OP^2-OH\cdot OP=20-1=19.$$ また$AB$は$2x+4y=1$、すなわち$y=-x/2+1/4$である。 　 (2) $P=(u,v)$とすると$AB:ux+vy=1$の傾きは$-u/v$。傾きが$-2$なので$u=2v$。さらに $$\displaystyle \frac{PH}{OH}=\frac{OP-OH}{OH}=OP^2-1=24$$ より$OP^2=25$。従って$u^2+v^2=5v^2=25$。第1象限条件から$v=\sqrt5,\ u=2\sqrt5$で、$P=(2\sqrt5,\sqrt5)$。 　 (3) $P=2(\cos\phi,\sin\phi)$、$\pi/2\leq\phi\leq3\pi/2$ とおく。接点弦 $AB$ は、直線 $$\displaystyle x\cos\phi+y\sin\phi=\frac12$$ と閉円板 $x^2+y^2\leq1$ の共通部分である。この弦が通る点 $X=(x,y)$ の範囲を調べる。

まず $x\leq0$ の場合を考え、$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ とおく。弦を含む直線と原点との距離は $1/2$ であり、弦は閉円板内にあるので、必要条件は $1/2\leq\rho\leq1$ である。逆にこの範囲の点 $X$ の方向角を $\psi\quad(\pi/2\leq\psi\leq3\pi/2)$ とする。$\phi=\psi$ では左辺は $\rho\geq1/2$。一方、許された区間の端点のうち $\psi$ から遠い方では角度差が少なくとも $\pi/2$ なので、左辺は $0$ 以下である。左辺は $\phi$ について連続だから、途中で $1/2$ をとる。したがって左側の掃過領域は、半径 $1/2$ と $1$ の間の左半円環である。

次に $x>0$ とする。許された $\phi$ では $\cos\phi\leq0$ なので、$y\geq0$ なら左辺の最大値は $\phi=\pi/2$ のときの $y$、$y\leq0$ なら最大値は $\phi=3\pi/2$ のときの $-y$ である。よって必要条件は $|y|\geq1/2$。逆に閉円板内でこれを満たせば、一方の端点で左辺は $1/2$ 以上、$\phi=\pi$ では $-x<0$ となり、連続性から途中で $1/2$ をとる。したがって右側は、閉円板内の $y\geq1/2$ および $y\leq-1/2$ の部分である。

左半円環の面積は $$\displaystyle \frac{\pi}{2}\left(1-\frac14\right)=\frac{3\pi}{8}.$$ 円板内で $y\geq1/2$ となる弓形全体は、中心角 $2\pi/3$ の扇形から、底辺 $\sqrt3$、高さ $1/2$ の三角形を除いた部分である。その面積は $\pi/3-\sqrt3/4$、右半分は $\pi/6-\sqrt3/8$ となる。下側も同じであり、左右の領域は面積をもつ重なりがないので、 $$\displaystyle S=\frac{3\pi}{8}+2\left(\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{8}\right) =\boxed{\frac{17\pi}{24}-\frac{\sqrt3}{4}}.$$