2獨協医科大学 2021年 1日目 数学 第2問解答・解説

(1) 倍角公式から $$\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$$ である。よって $$\displaystyle \int\sin^2\theta\,d\theta=\frac\theta2-\frac{\sin2\theta}{4}+C_1.$$ さらに$\displaystyle \sin^2\theta\cos^2\theta=\frac14\sin^22\theta=\frac18(1-\cos4\theta)$なので $$\displaystyle \int\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\frac\theta8-\frac{\sin4\theta}{32}+C_2.$$

(2) $u=\cos\theta$ とおくと $-1\le u\le1$ であり、$x=2u(1+u)=2(u+1/2)^2-1/2$。したがって最小値は$u=-1/2$、すなわち$\theta=2\pi/3$で取り、そのとき$y=2(1-1/2)(\sqrt3/2)=\sqrt3/2$である。 $$\displaystyle (x,y)_{\min x}=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ $g(\theta)=y=2(1+\cos\theta)\sin\theta$とすると $$g'(\theta)=2(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1).$$ 問題の区間$0\le\theta\le\pi$では端点の$g$は0で、唯一の内部極値は$\cos\theta=1/2$、つまり$\theta=\pi/3$である。このとき $$\displaystyle (x,y)=\left(2(1+\tfrac12)\tfrac12,\ 2(1+\tfrac12)\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\left(\frac32,\frac{3\sqrt3}{2}\right),$$ ゆえにこれが最大$y$の点である。曲線は$x$軸対称で、上半分の面積は$\displaystyle -\int_0^\pi yx'\,d\theta$と表せるから、全体の面積は $$\displaystyle \frac S2=-\int_0^\pi yx'\,d\theta.$$ ここで$x'=-2\sin\theta(1+2\cos\theta)$、$y=2(1+\cos\theta)\sin\theta$より $$\displaystyle S=8\int_0^\pi(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)\sin^2\theta\,d\theta.$$ 積を展開し、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=\pi/2$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta=0$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\pi/8$を用いると $$\displaystyle S=8\left(\frac\pi2+3\cdot0+2\cdot\frac\pi8\right)=6\pi.$$ 積分の係数は展開$(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)=1+3\cos\theta+2\cos^2\theta$から得た。