7長崎大学 2025年 数学 第7問解答・解説

(1) 点Pは半径2の円周上で偏角が$\theta$であるから、$$P=(2\cos\theta,2\sin\theta),\qquad l=2\theta.$$$\angle$ OPQ=$\displaystyle \frac{\pi}{2}$より、$\overrightarrow{PQ}$は$\overrightarrow{OP}$に垂直である。長さ1の垂直な方向ベクトルは$\pm$($\sin$$\theta$,-$\cos$$\theta$)なので、$$Q=P\pm2\theta(\sin\theta,-\cos\theta)$$となる。複号の上では$$x=2(\cos\theta+\theta\sin\theta)$$であり、$\cos\theta+\theta\sin\theta-1$は$\theta$=0で0、導関数が$\theta\cos\theta\ge0$だから$x\ge2$である。一方、複号の下では$\theta$>0のとき$\cos\theta-\theta\sin\theta<1$となり、$x<2$である。したがって条件に合うのは複号の上である。$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$を代入すると、$$D=(\pi,2).$$　 (2) 垂線の足は各点と同じx座標をもつから、$$P=(2\cos\theta,2\sin\theta),\quad E=(2\cos\theta,0),$$$$Q=(2\cos\theta+2\theta\sin\theta,2\sin\theta-2\theta\cos\theta),\quad F=(2\cos\theta+2\theta\sin\theta,0).$$　 (3) 部分積分を用いると、$$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta=\left[-\frac{\theta}{2}\cos2\theta\right]_0^{\pi/2}+\frac12\int_0^{\pi/2}\cos2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}.$$また、$$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta^2\cos2\theta\,d\theta=\left[\frac{\theta^2}{2}\sin2\theta\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta=-\frac{\pi}{4}.$$　 (4) 曲線上で$$x_Q=2\cos\theta+2\theta\sin\theta,\qquad y_Q=2\sin\theta-2\theta\cos\theta,\qquad y_Q'=2\theta\sin\theta\geq0.$$高さyで水平に切ると、円弧のx座標は$\sqrt{4-y^2}$、曲線のx座標はx_Q(y)であり、領域の横幅は x_Q(y)-$\sqrt{4-y^2}$ である。したがって、yを$\theta$で表して積分すると、円弧とy軸で囲まれる部分は半径2の四分円の面積$\pi$なので、$$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}x_Qy_Q'\,d\theta-\pi.$$ここで、(3)の積分値を用いて$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\pi/2}x_Qy_Q'\,d\theta&=\int_0^{\pi/2}(2\cos\theta+2\theta\sin\theta)(2\theta\sin\theta)\,d\theta\\&=2\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta+2\int_0^{\pi/2}\theta^2(1-\cos2\theta)\,d\theta\\&=\frac{\pi}{2}+2\left(\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}\right)=\pi+\frac{\pi^3}{12}.\end{aligned}$$よって$$\displaystyle S=\frac{\pi^3}{12}.$$　 (5) 曲線の媒介変数表示を微分すると、$$x_Q'=2\theta\cos\theta,\qquad y_Q'=2\theta\sin\theta.$$よって$$\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{(x_Q')^2+(y_Q')^2}\,d\theta=\int_0^{\pi/2}2\theta\,d\theta=\frac{\pi^2}{4}.$$