長崎大学 2025年数学第10問解答・解説

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1問題

長崎大学2025年度第10問

$xyz$ 座標空間の $xy$ 平面上に，原点 $O$ を中心とする半径1の円 $C$ があり，円 $C$ の周上を動く点を $P(\cos\theta,\sin\theta,0)$ とする。また， $z=1$ で表される平面 $T$ 上に，点 $A(0,0,1)$ を中心とする半径1の円 $D$ があり，円 $D$ の周上を動く点を $Q(\cos(\theta+\alpha),\sin(\theta+\alpha),1)$ とする。ただし， $\theta$ は $0\leq\theta\leq2\pi$ の変数とし， $\alpha$ は $0\leq\alpha\leq\pi$ の定数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{PR}=t\overrightarrow{PQ}\;(0\leq t\leq1)$ とする。このとき，点 $R(x,y,z)$ の $x,y,z$ をそれぞれ $t,\theta,\alpha$ を用いて表せ。

(2) (1)の $R$ から $z$ 軸に垂線 $RH$ を下ろし，2点 $R,H$ の距離を $d$ とする。 $d^{2}$ を $\alpha$ と $t$ の式で表せ。また， $t$ が $t=0$ から $t=1$ まで変化するとき， $d$ の最小値を $\alpha$ を用いて表し，そのときの $t$ の値を求めよ。ただし， $0<\alpha\leq\pi$ とする。

(3) $\theta$ が $\theta=0$ から $\theta=2\pi$ まで変化するとき，線分 $PQ$ が通過してできる曲面と， $xy$ 平面と平面 $T$ の2平面とで囲まれる立体 $F$ の体積 $V$ を $\alpha$ を用いて表せ。

(4) (3)の立体 $F$ は，定数 $\alpha$ の値によって様々な形状になる。立体 $F$ の体積 $V$ が最大，最小になるときの $\alpha$ の値と体積をそれぞれ求め，そのときの形状をそれぞれ答えよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad x=(1-t+t\cos\alpha)\cos\theta-t\sin\alpha\sin\theta,\space{}y=t\sin\alpha\cos\theta+(1-t+t\cos\alpha)\sin\theta,\space{}z=t\quad$ 。 (2) $\quad d^2=1-4t(1-t)\sin^2(\alpha/2)\quad$ 、最小値は $\quad \cos(\alpha/2)\quad$ 、 $\quad t=1/2\quad$ 。 (3) $\quad V=\pi(2+\cos\alpha)/3\quad$ 。 (4) 最大 $\quad \pi\quad$ （ $\quad \alpha=0\quad$ 、円柱）、最小 $\quad \pi/3\quad$ （ $\quad \alpha=\pi\quad$ 、頂点を合わせた2円錐）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P=(\cos\theta,\sin\theta,0)$ 、 $Q=(\cos(\theta+\alpha),\sin(\theta+\alpha),1)$ とし、 $R=P+t(Q-P)$ を加法定理で展開すると $x=(1-t+t\cos\alpha)\cos\theta-t\sin\alpha\sin\theta,\quad y=t\sin\alpha\cos\theta+(1-t+t\cos\alpha)\sin\theta,\quad z=t.$ 高さ $z=t$ での軸からの距離は $\displaystyle d^2=(1-t)^2+t^2+2t(1-t)\cos\alpha=\cos^2\frac\alpha2+4\sin^2\frac\alpha2(t-\tfrac12)^2.$ よって $0<\alpha\le\pi$ で最小は $t=1/2$ 、 $d=\cos(\alpha/2)$ 。その高さの断面は半径 $d$ の円なので $\displaystyle V=\pi\int_0^1\{1-4t(1-t)\sin^2(\alpha/2)\}\,dt=\frac\pi3(2+\cos\alpha).$ $0\le\alpha\le\pi$ でこれを最大・最小化すると、最大 $\pi$ は $\alpha=0$ の円柱、最小 $\pi/3$ は $\alpha=\pi$ の高さ1/2の円錐2個を頂点で合わせた立体となる。

この問題で使う考え方

ベクトル内分と加法定理
平方完成
円板法

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