4筑波大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)g(x)=b x\cos x+ab\sin x\cos x$ である。$x\cos x$ と $\sin x\cos x$ はともに奇関数なので、対称区間での積分は $0$ となる。したがって $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx=0.$$

(2) (1) と $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi$ より $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}(f+g)^2\,dx-\int_{-\pi}^{\pi}f^2\,dx =2\int_{-\pi}^{\pi}fg\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}g^2\,dx =\pi b^2\ge0.$$ よって示された。

(3) 回転体の断面積は $\pi|f(x)+g(x)|^2$ なので $$\displaystyle V=\pi\int_{-\pi}^{\pi}(f+g)^2\,dx.$$ (1) から $\displaystyle \int(f+g)^2=\int f^2+\int g^2$ であり、部分積分と三角関数の積分により $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3},\qquad \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=2\pi,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left(\int_{-\pi}^{\pi}(x+a\sin x)^2\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}b^2\cos^2x\,dx\right)\\ &=\frac23\pi^4+4\pi^2a+\pi^2a^2+\pi^2b^2\\ &=\frac23\pi^2(\pi^2-6)+\pi^2\{(a+2)^2+b^2\}\\ &\ge\frac23\pi^2(\pi^2-6). \end{aligned}$$ 等号成立は $(a+2)^2=b^2=0$ のとき、すなわち $a=-2,\ b=0$ である。