5筑波大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $\displaystyle g(t)=\int_t^{t+h}\frac{e^x}{x^2}\,dx$ であり，被積分関数 $f(x)=e^x/x^2$ は正である。微積分の基本定理より $$\displaystyle g'(t)=f(t+h)-f(t)=\frac{e^{t+h}}{(t+h)^2}-\frac{e^t}{t^2}$$。 (2) $$\displaystyle g'(t)=\frac{e^t}{t^2}\left[\left(\frac{e^{h/2}t}{t+h}\right)^2-1\right]$$。 $\displaystyle q(t)=\frac{e^{h/2}t}{t+h}$ とおくと，$\displaystyle q'(t)=\frac{he^{h/2}}{(t+h)^2}>0$，$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}q(t)=0$，$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}q(t)=e^{h/2}>1$。したがって $q(t)=1$ となる $t$ はただ1つであり，$g'(t)$ の符号はその点より左で負，右で正である。$q(t)=1$ を解くと $t+h=e^{h/2}t$，ゆえに唯一の最小点は $\displaystyle t=\frac{h}{e^{h/2}-1}$。 (3) $u=h/2$ とおけば $\displaystyle t(h)=2\frac{u}{e^u-1}$。$\displaystyle \lim\limits _{u\to0+}\frac{e^u-1}{u}=1$ より $\displaystyle \lim\limits _{h\to+0}t(h)=2$。