6筑波大学 2023年 数学 第6問解答・解説

〔6〕複素数 $z=x+iy$（$x,y\text{ は実数}$）とする。図示のための二つの実平面座標を明記し、各小問の集合の全体を表す。　 (1) 両辺は非負なので二乗してよい。 $$|z+2|=2|z-1|\quad\text{すなわち}\quad (x+2)^2+y^2=4\{(x-1)^2+y^2\}.$$ 展開・整理すると $x^2-4x+y^2=0$、すなわち $$(x-2)^2+y^2=4.$$ これは中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円である。　 (2) $A=|z+2|-2|z-1|$ とおくと、問題の等式は $$A\bigl(|z+6i|-3|z-2i|\bigr)=0$$ と同値である。実数の積が0になる条件から、$A=0$ または $|z+6i|=3|z-2i|$。前者は (1) の円である。後者を二乗して整理すると $$x^2+(y+6)^2=9\{x^2+(y-2)^2\}\quad\text{すなわち}\quad x^2+y^2-6y=0\quad\text{すなわち}\quad x^2+(y-3)^2=9.$$ よって $S$ は中心 $(2,0)$・半径 $2$ の円と、中心 $(0,3)$・半径 $3$ の円との和集合（両円の円周全体）である。交点は両円の式 $x^2+y^2-4x=0$ と $x^2+y^2-6y=0$ を引いて $2x=3y$ として求める。$y=2x/3$ を代入すると $x(13x/9-4)=0$ だから、交点は $(0,0)$ と $(36/13,24/13)$。添付するS図の円弧はどちらも全周で、交点はこの2点である。　 (3) $z=0$ は両方の円に属するが $w=1/z$ はそこで定義されないため、変換対象は $S$ から原点を除いた部分である。$w=u+iv$ とおけば（$w\ne0$）$z=1/w=(u-iv)/(u^2+v^2)$、従って $x=u/(u^2+v^2),\ y=-v/(u^2+v^2)$。 $$\displaystyle x^2+y^2-4x=0\quad\text{すなわち}\quad \frac{1-4u}{u^2+v^2}=0\quad\text{すなわち}\quad u=\frac14,$$ また $$\displaystyle x^2+y^2-6y=0\quad\text{すなわち}\quad \frac{1+6v}{u^2+v^2}=0\quad\text{すなわち}\quad v=-\frac16.$$ 逆に、直線 $u=1/4$ 上の点も直線 $v=-1/6$ 上の点も $w=0$ ではないので $z=1/w$ が定まり、対応する円の式を満たす。したがって像は複素平面内の直線 $\operatorname{Re}w=1/4$ と $\operatorname{Im}w=-1/6$ の全体の和集合である。直線に端点・除外点はなく、交点は $w=1/4-i/6$。両図の境界・無限方向・原点除外を図版とmetaに記録する。

(2) の図

(3) の図