1筑波大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)=x-x^3$ とおくと $$f'(x)=1-3x^2,\qquad f'(1)=-2.$$ したがって $A(1,0)$ における接線 $\ell$ は $$y=-2(x-1)=-2x+2$$ である。曲線 $C$ と $\ell$ の共有点の $x$ 座標は $$x-x^3=-2x+2\quad\text{、すなわち}\quad x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$$ を満たす。$x=1$ は点 $A$ なので、もう一つの共有点では $x=-2$。曲線上の $y$ 座標は $-2-(-2)^3=6$ だから $$B=(-2,6).$$

(2) 底辺の長さは $$|AB|=\sqrt{(-2-1)^2+(6-0)^2}=3\sqrt5.$$ 直線 $\ell$ を $2x+y-2=0$ と書くと、$P(t,t-t^3)$ から $\ell$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|2t+(t-t^3)-2|}{\sqrt5} =\frac{|3t-t^3-2|}{\sqrt5}.$$ ここで $$3t-t^3-2=-(t-1)^2(t+2)$$ であり、$-2<t<1$ では $(t-1)^2(t+2)>0$。よって三角形の高さは $(t-1)^2(t+2)/\sqrt5$ である。したがって $$\displaystyle S(t)=\frac12\,|AB|\,\frac{(t-1)^2(t+2)}{\sqrt5} =\frac32(t-1)^2(t+2).$$

(3) $\displaystyle S(t)=\frac32(t^3-3t+2)$ より $$\displaystyle S'(t)=\frac92(t^2-1)=\frac92(t-1)(t+1).$$ $-2<t<-1$ では $S'(t)>0$、$-1<t<1$ では $S'(t)<0$ だから、$S(t)$ は $t=-1$ まで増加し、その後減少する。したがって区間内で最大値をとるのは $t=-1$ のときで、 $$\displaystyle S(-1)=\frac32(-2)^2(1)=6.$$