9長崎大学 2025年 数学 第9問解答・解説

(1)　 $\triangle$ AOB の周および内部は $x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le2$ で表される。 (2)　 $P=(t,2-2t)$ だから $Q=(t,0),\ R=(0,2-2t)$ である。 $0<t<1$ のとき、直線 $l_2$ は $\displaystyle \frac{x}{t}+\frac{y}{2(1-t)}=1$ を満たす。両辺に 2t(1-t) を掛けて整理すると $2t^2+(y-2x-2)t+2x=0$ となる。端点 t=0,1 でもそれぞれ $x=0$, $y=0$ を表す。よって $a=y-2x-2,\ b=2x$ である。 (3)・(4)　 $0<x<1$ を固定する。線分 QR 上で点の x 座標が x となるには $x\le t<1$ であり、その点の y 座標は $\displaystyle y=2(1-t)\left(1-\frac{x}{t}\right)=2\left(1+x-t-\frac{x}{t}\right)$ である。ここで $\displaystyle t+\frac{x}{t}-2\sqrt{x}=\frac{(t-\sqrt{x})^2}{t}\ge0$ だから、 $y\le2(1+x-2\sqrt{x})=2(1-\sqrt{x})^2$. 等号は $t=\sqrt{x}$ のときに成り立つ。さらに $t=x$ のとき $y=0$ であり、t を x から $\sqrt{x}$ まで動かすと上の y は連続して 0 から 2(1-$\sqrt{x}$)^2 までの値をとる。したがってこの区間の x に対して、領域内の y の範囲は $0\le y\le2(1-\sqrt{x})^2$ である。x=0 では QR が y 軸上を $0\le y\le2$ と動き、$x=1$ では点 B のみを通る。$x<0$ または $x>1$ の点は通らない。よって $F:\quad 0\le x\le1,\qquad 0\le y\le2(1-\sqrt{x})^2$. $\displaystyle \left(\frac14,\frac12\right)$ については $\displaystyle 2\left(1-\sqrt{\frac14}\right)^2=\frac12$ だから、境界上にあり F に含まれる。 (5)　 F は $(0,2)$ と $(1,0)$ を結ぶ曲線 $y=2(1-\sqrt{x})^2$ の下側で、両座標軸に囲まれる領域である。

$u=\sqrt{x}$ とおくと $x=u^2,\ dx=2u\,du$ なので、面積は $\displaystyle S=\int_0^1 2(1-\sqrt{x})^2\,dx=4\int_0^1u(1-u)^2\,du$ =$\displaystyle 4\left[\frac{u^2}{2}-\frac{2u^3}{3}+\frac{u^4}{4}\right]_0^1=\frac13$. よって $\displaystyle S=\frac13$ である。