6京都大学 2026年 数学 第6問解答・解説

袋から取り出す3枚の選び方は $\displaystyle \binom{n}{3}$ 通りであり、いずれも同様に確からしい。

$X=k$ となるには、番号 $k$ の札を選び、残りの2枚を $1,2,\ldots,k-1$ から選べばよい。したがって、$3\leq k\leq n$ に対して

$$\displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{k-1}{2}}{\binom{n}{3}}.$$

よって、期待値は

$$\displaystyle \begin{aligned} E[X]&=\sum\limits _{k=3}^{n} kP(X=k)\\ &=\frac{1}{\binom{n}{3}}\sum\limits _{k=3}^{n}k\binom{k-1}{2}\\ &=\frac{3}{\binom{n}{3}}\sum\limits _{k=3}^{n}\binom{k}{3}\\ &=\frac{3\binom{n+1}{4}}{\binom{n}{3}}\\ &=\frac{3(n+1)}{4}. \end{aligned}$$ここで、$\displaystyle k\binom{k-1}{2}=3\binom{k}{3}$ であり、また $\displaystyle \binom{k}{3}=\binom{k+1}{4}-\binom{k}{4}$ を用いて和を望遠和にした。最後の等式は $n\geq3$ で成り立つ。