2京都府立医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

正 $n$ 角形の辺と対角線は、頂点の2点を結ぶ線分なので、その総数は $$\displaystyle N=\binom n2$$ である。選び方の総数は $\displaystyle \binom N2$。辺の数を $n$、対角線の数を $d=N-n=n(n-3)/2$ とする。

2本とも辺なら $k=1$、辺と対角線なら $k=2$、対角線2本が内部で交わらなければ $k=3$、内部で交われば $k=4$ となる。実際、1本の対角線は多角形を2片に分け、交わらない2本目はそのうちの1片をさらに分ける。一方、内部で交わる2本目は最初の対角線の両側でそれぞれ新たに1片ずつ分ける。正多角形は凸なので、交差する対角線の組は、端点となる4頂点を選べばその4頂点の対角線の組としてただ1組定まり、その数は $\displaystyle \binom n4$ である。

(1) $k=1$ となるのは辺2本の組だけだから $$\displaystyle p_1=\frac{\binom n2}{\binom N2} =\frac{2}{N-1} =\frac{4}{n(n-1)-2} =\frac{4}{(n-2)(n+1)}.$$

(2) $k=4$ となるのは内部で交わる対角線2本の組だけなので $$\displaystyle p_4=\frac{\binom n4}{\binom N2} =\frac{(n-2)(n-3)}{3\{n(n-1)-2\}} =\frac{n-3}{3(n+1)}.$$ ここで $n(n-1)-2=(n-2)(n+1)$ を用いた。

(3) 辺2本の組は $\displaystyle \binom n2$、辺と対角線の組は $nd$、対角線2本の組は $\displaystyle \binom d2$ である。うち $\displaystyle \binom n4$ 組は $k=4$、残りは $k=3$。よって $k$ の合計を全組数で割ると $$\displaystyle E_n=\frac{\binom n2+2nd+3\binom d2+\binom n4}{\binom N2}.$$ $d=n(n-3)/2$、$N=n(n-1)/2$ なので、分子を $n^4$ で割った極限は $3/8+1/24=5/12$、分母を $n^4$ で割った極限は $1/8$ である。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}E_n=\frac{5/12}{1/8}=\frac{10}{3}.$$