4京都府立医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $D=1+x\tan x$ とおくと、定義域では $D\ge1$ である。商の微分と $\sec^2x-\tan^2x=1$ により $$\displaystyle f'(x)=\frac{\sec^2x(1+x\tan x)-\tan x(\tan x+x\sec^2x)}{(1+x\tan x)^2} =\frac1{(1+x\tan x)^2}.$$ したがって $f'(x)>0$ なので $f$ は単調に増加する。また $f'(x)\le1$、$f(0)=0$ より、$x-f(x)$ は $0$ で $0$ となる単調増加関数である。よって $f(x)\le x$。

(2) 接点を $a$ とすると、その接線は $$y=\cos a-\sin a(x-a).$$ 点 $(2n\pi,0)$ を通る条件は $\cos a=\sin a(2n\pi-a)$、すなわち $$a+\cot a=2n\pi. \tag{1}$$ $g(x)=x+\cot x$ は $0<x<\pi/2$ で $g'(x)=-\cot^2x<0$、また $x\to0+$ で $g(x)\to\infty$、$x\to\pi/2-$ で $g(x)\to\pi/2$ である。したがって $n\ge1$ では接点 $a_n$ は一意に定まる。(1) から $$\displaystyle f(a_n)=\frac{\tan a_n}{1+a_n\tan a_n} =\frac1{a_n+\cot a_n} =\frac1{2n\pi}.$$ (1)で $0\le x<\pi/2$ に対する $f(x)\le x$ を示したので、$1/(2n\pi)\le a_n$。

(3) $0\le x\le\pi/4$ では $$(2x-\tan x)'=2-\sec^2x=1-\tan^2x\ge0,\qquad 2\cdot0-\tan0=0,$$ ゆえに $\tan x\le2x$。分子 $\tan x$ は非負であり、したがって $$\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{1+x\tan x}\ge\frac{\tan x}{1+2x^2}.$$ さらに $$(\tan x-x)'=\tan^2x\ge0,\qquad \tan0-0=0$$ より $\tan x\ge x$。両辺を正の $1+2x^2$ で割れば $$\displaystyle \frac{\tan x}{1+2x^2}\ge\frac{x}{1+2x^2}.$$

(4) $\displaystyle b=\dfrac1{2n\pi}(1+\dfrac1n)$ とおく。$n\ge1$ より $b\le1/\pi<\pi/4$ なので、(3)を $x=b$ に適用できる。また $$\displaystyle 2b^2=\frac{(1+1/n)^2}{2n^2\pi^2} \le\frac{2}{n^2\pi^2}\le\frac1n$$ であり、$2n\pi b=1+1/n$ だから $$\displaystyle f(b)\ge\frac{b}{1+2b^2}\ge\frac1{2n\pi}=f(a_n).$$ (1)で $f$ は単調増加と示したので $b\ge a_n$。これは $$\displaystyle a_n\le\frac1{2n\pi}\left(1+\frac1n\right)$$ を表す。

(5) (2)、(4)より $$\displaystyle \frac1{2\pi}\le na_n\le\frac1{2\pi}\left(1+\frac1n\right).$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $1/(2\pi)$ に近づくので、はさみうちの原理から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}na_n=\frac1{2\pi}.$$