1京都府立医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

共有点を $P=(t,\sqrt t)$ とおく。ここで $t>0$ である。共有点の条件と接線の傾きが等しいことから $$\displaystyle e^{at}=\sqrt t,\qquad ae^{at}=\frac1{2\sqrt t}.$$ したがって $a\sqrt t=1/(2\sqrt t)$ より $a=1/(2t)$。また $e^{at}=\sqrt t$ の両辺の自然対数をとると $at=(\log t)/2$ であるから、$a=1/(2t)$ を代入して $\log t=1$、すなわち $t=e$ となる。よって $$\displaystyle a=\frac1{2e},\qquad P=(e,\sqrt e).$$ 接線 $l$ の傾きは $1/(2\sqrt e)$ であり、その方程式は $$\displaystyle y=\sqrt e+\frac{x-e}{2\sqrt e} =\frac{\sqrt e}{2}+\frac{x}{2\sqrt e}$$ である。

$0\le x\le e$ では $C_1$ がこの接線より上にある。実際、両者の差は $x=e$ で $0$ となり、その導関数 $$\displaystyle \frac1{2e}e^{x/(2e)}-\frac1{2\sqrt e}$$ は $0\le x<e$ で負である。また $0\le x\le e$ では、接線と $C_2$ の差は $$\displaystyle \frac{x+e}{2\sqrt e}-\sqrt{x} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt e)^2}{2\sqrt e}\ge0$$ である。これは $x=0$ も含み、等号は $x=e$ のときに限る。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_0^e\left(e^{x/(2e)}-\frac{\sqrt e}{2}-\frac{x}{2\sqrt e}\right)\,dx\\ &=2e(\sqrt e-1)-\frac{e\sqrt e}{2}-\frac{e^{3/2}}4 =e\left(\frac{5\sqrt e}{4}-2\right),\\ S_2 &=\int_0^e\left(\frac{\sqrt e}{2}+\frac{x}{2\sqrt e}-\sqrt x\right)\,dx\\ &=\frac{3e^{3/2}}4-\frac{2e^{3/2}}3 =\frac{e^{3/2}}{12}. \end{aligned}$$ 大小を比較すると $$\displaystyle S_1-S_2=e\left(\frac{7\sqrt e}{6}-2\right).$$ $e<2.8=14/5<144/49=(12/7)^2$ より $\sqrt e<12/7$ なので $S_1-S_2<0$。よって $S_1<S_2$ である。