1新潟大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(e^x+1)=\frac{e^x}{e^x+1}=f(x)$$ より、$$\displaystyle \int f(x)\,dx=\ln(e^x+1)+C.$$

(2) $$\displaystyle f(0)=\frac12,\qquad f'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\qquad f'(0)=\frac14.$$ したがって接線は $$\displaystyle \ell:\ y-\frac12=\frac14(x-0),\qquad y=\frac{x}{4}+\frac12.$$

(3) $$\displaystyle h(x)=f(x)-\left(\frac{x}{4}+\frac12\right)$$ とおくと $h(0)=0$ であり、$$\displaystyle h'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}-\frac14=-\frac{(e^x-1)^2}{4(e^x+1)^2}\leq 0.$$ 等号は $x=0$ のときに限る。よって任意の $a<b$ について $$\displaystyle h(b)-h(a)=\int_a^b h'(x)\,dx<0,$$ したがって $a<b$ ならば $h(a)>h(b)$ である。$h(0)=0$ だから、$h(x)=0$ となるのは $x=0$ のみであり、共有点は $\displaystyle (0,\frac12)$ のみである。

(4) $0<x\leq1$ では $h(x)<0$、すなわち接線が曲線より上にある。求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1\left(\frac{x}{4}+\frac12-f(x)\right)dx\\&=\frac18+\frac12-\left[\ln(e^x+1)\right]_0^1\\&=\frac58-\ln\frac{e+1}{2}=\frac58+\ln\frac{2}{e+1}.\end{aligned}$$