6新潟大学 2024年 数学 第6問解答・解説

(2) $0\le t\le2$ だから $|t|=t$ であり、 $$|z-w|=\sqrt2\,|t^3-3t|.$$ $g(t)=t^3-3t$ とおくと $g'(t)=3(t^2-1)$。よって $g$ は $0\le t\le1$ で減少し、$1\le t\le2$ で増加する。$g(0)=0,\ g(1)=-2,\ g(2)=2$ なので、$|g|$ の最大値は2であり、等号は $t=1,2$ で成立する。求める最大値は $2\sqrt2$。

(3) 複素平面の座標を $(x,y)$ とする。$C_1$ は $$(x,y)=(t^3,3|t|),\qquad y=3|x|^{1/3}.$$ $C_2$ は $$\displaystyle (x,y)=(3|t|,t^3),\qquad x\ge0,\quad y=\pm\frac{x^3}{27}.$$ 交点は原点と、第1象限で $3x^{1/3}=x^3/27$ を満たす点である。後者は $$x=3\sqrt3,\qquad y=3\sqrt3.$$ したがって囲まれた部分は原点とこの交点の間の第1象限の二つの弧にはさまれる。

$C_1$ の弧を $(x,y)=(t^3,3t)$、$0\le t\le\sqrt3$ と表すと、その下の面積は $$\displaystyle \int_0^{\sqrt3}3t\,\frac{d(t^3)}{dt}\,dt =\int_0^{\sqrt3}9t^3\,dt=\frac{81}{4}.$$ $C_2$ の上側の弧を $(x,y)=(3s,s^3)$、$0\le s\le\sqrt3$ と表すと、その下の面積は $$\displaystyle \int_0^{\sqrt3}s^3\,\frac{d(3s)}{ds}\,ds =\int_0^{\sqrt3}3s^3\,ds=\frac{27}{4}.$$ 差を取ると、囲まれた面積は $$\displaystyle \boxed{\frac{81}{4}-\frac{27}{4}=\frac{27}{2}}.$$ 答え (1) $z=t^3+3i|t|,\ w=3|t|+it^3$。　 (2) 最大値 $2\sqrt2$、$t=1,2$。　 (3) 面積 $27/2$。